[论文解读] Branes and Quantization for an A-Model Complexification of Einstein Gravity in Almost Kahler Variables

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Oct 26, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文提出了一种通过在具有2+2非完整分布的非完整流形上使用辛形式和由(伪)黎曼度量导出的典范辛联络来重表述广义相对论的新型引力量化方法。该方法将Gukov–Witten A-模型量化框架应用于爱因斯坦引力，构建了一个非完整A-膜弦的希尔伯特空间，通过N-适应几何将量子引力与孤立子谱系及双哈密顿结构联系起来。

ABSTRACT

The general relativity theory is redefined equivalently in almost Kahler variables: symplectic form and canonical symplectic connection (distorted from the Levi-Civita connection by a tensor constructed only from metric coefficients and their derivatives). The fundamental geometric and physical objects are uniquely determined in metric compatible form by a (pseudo) Riemannian metric on a manifold enabled with a necessary type nonholonomic 2+2 distribution. Such nonholonomic symplectic variables allow us to formulate the problem of quantizing Einstein gravity in terms of the A-model complexification of almost complex structures on spacetime manifold, generalizing the Gukov-Witten method, see arXiv:0809.0305. Quantizing the complexified model, we derive a Hilbert space as a space of strings with two A-branes which for the Einstein gravity theory are nonholonomic because of induced nonlinear connection structures. Finally, we speculate on relation of such a method of quantization to curve flows and solitonic hierarchies defined by Einstein metrics on (pseudo) Riemannian spacetimes.

研究动机与目标

• 在具有2+2非可积分布的非完整流形上，以几乎凯勒变量——辛形式与典范辛联络——的形式重新表述广义相对论。
• 将Gukov–Witten A-模型量化方法应用于爱因斯坦引力，实现基于膜的几何量化框架。
• 构建作为非完整A-膜弦空间的量子态希尔伯特空间，保持由度量诱导的非线性联络结构。
• 将所得的量子引力模型与曲线流、孤立子谱系及由爱因斯坦度量定义的双哈密顿结构相联系。
• 通过使用N-适应联络与非完整时空上的辛几何，将费多索夫型量化推广至引力理论。

提出的方法

• 本文在流形V上使用非完整2+2分布，通过辛形式θ[g]与典范辛联络D̂[g]定义几乎凯勒结构，该联络是黎曼联络由度量系数及其导数构成的张量所扭曲的结果。
• 将A-模型拓扑弦理论框架应用于爱因斯坦引力的几乎凯勒几何，将时空视为复化流形，A-膜与辛结构耦合。
• 希尔伯特空间作为两个非完整A-膜之间拉伸的弦的空间被构造出来，具体为(gBcc, gB′)，并保持非线性联络结构。
• 该方法采用N-适应微分几何，包括N-联络系数、适应联络与曲率形式，以保持与非完整分布及辛结构的兼容性。
• 在非完整A-模型弦的希尔伯特空间Hg上推导出一个赫米特内积，确保幺正性与拓扑一致性。
• 通过使用与N-结构相适应的典范d-联络与曲率形式，将费多索夫量化推广至引力理论，给出N-适应分量下挠率、曲率与里奇张量的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有2+2分布的非完整流形上，以几乎凯勒变量（即辛形式与典范辛联络）的形式等价地重表述广义相对论？
• RQ2 能否通过使用非完整A-膜与辛几何，一致地将Gukov–Witten A-模型量化程序应用于爱因斯坦引力？
• RQ3 在此框架下，量子态希尔伯特空间的结构是什么？它如何被实现为两个非完整A-膜之间弦的空间？
• RQ4 曲线流与孤立子谱系如何与通过非完整A-膜及双哈密顿结构构建的量子引力模型相关联？
• RQ5 哪些N-适应几何与拓扑约束能确保该几乎凯勒表述下量子理论的幺正性与一致性？

主要发现

• 本文构造了一个典范几乎辛d-联络D̂，其保持非完整流形的h-v分裂，且满足h-v与v-v挠率分量为零，确保与辛几何的相容性。
• 辛形式θ[g]与联络D̂[g]由(伪)黎曼度量g唯一确定，其中联络是黎曼联络经由度量及其导数导出的张量所扭曲的结果。
• 希尔伯特空间Hg被实现为两个非完整A-膜(gBcc, gB′)之间拉伸弦的空间，其上定义了赫米特内积，确保幺正性与拓扑一致性。
• 典范d-联络D̂的曲率2-形式在N-适应分量下被计算，其非平凡分量为R̂ijk, P̂jka与Ŝbcd，编码了几乎凯勒框架下的引力动力学。
• 典范d-联络的标量曲率R̂表示为R̂ = g^βγ R̂_βγ，表明其与非完整设定下标准里奇标量的一致性。
• 该模型通过N-适应对称性与曲线流方程，将量子引力与孤立子谱系及双哈密顿结构相联系，推广了先前在引力费多索夫量化中的结果。