[论文解读] Bratteli diagrams where almost all orders are imperfect

Jeannette Janssen, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文研究了在连续层次之间仅通过单条边连接的简单布雷蒂利图上的随机排序，表明当顶点集呈现超线性增长时，存在不可数无穷多条无限路径。关键结果是一个二分法：缓慢增长的图可通过随机排序实现同胚，而快速增长的图则不能，且在随机排序下，一大类无限秩布雷蒂利图不存在连续的维施克映射。

ABSTRACT

For the simple Bratteli diagrams B where there is a single edge connecting any two vertices in consecutive levels, we show that a random order has uncountably many infinite paths if and only if the growth rate of the level-n vertex sets is super-linear. This gives us the dichotomy: a random order on a slowly growing Bratteli diagram admits a homeomorphism, while a random order on a quickly growing Bratteli diagram does not. We also show that for a large family of infinite rank Bratteli diagrams, a random order on B does not admit a continuous Vershik map.

研究动机与目标

• 理解在简单布雷蒂利图上，随机排序在何种条件下会产生不可数无穷多条无限路径。
• 确定此类排序在何种情况下可实现同胚，特别是与各层次顶点集增长速率的关系。
• 研究在随机排序下，一大类无限秩布雷蒂利图是否存在连续的维施克映射。

提出的方法

• 分析在连续层次之间任意两顶点间恰好有一条边的布雷蒂利图，以简化结构复杂性。
• 将第n层顶点集的增长率作为关键参数，用于分类随机排序的行为。
• 运用组合与拓扑论证，评估在随机排序下无限路径的基数。
• 采用测度论与序理论技术，评估无限秩图上连续维施克映射的存在性。
• 基于顶点集在层次序列中呈现超线性或次线性增长，建立二分法。
• 聚焦于一大类无限秩布雷蒂利图，以推广连续维施克映射不存在的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在顶点集增长的何种条件下，简单布雷蒂利图上的随机排序会产生不可数无穷多条无限路径？
• RQ2 在缓慢增长的布雷蒂利图上，随机排序在何种情况下可实现同胚？
• RQ3 在快速增长的布雷蒂利图上，随机排序是否无法实现同胚？
• RQ4 对于哪些无限秩布雷蒂利图家族，随机排序无法支持连续的维施克映射？
• RQ5 超线性增长在何种程度上阻碍了在随机排序下连续维施克映射的存在？

主要发现

• 当且仅当第n层顶点集的增长率为超线性时，简单布雷蒂利图上的随机排序才可产生不可数无穷多条无限路径。
• 当顶点集增长为次线性或线性时，随机排序不会产生不可数无穷多条无限路径，这意味着同胚的可能性存在。
• 对于缓慢增长的布雷蒂利图，由于路径结构受控，随机排序下同胚的存在性得以保持。
• 相反，快速增长的图在随机排序下因路径过度泛滥而无法实现同胚。
• 对于一大类无限秩布雷蒂利图，随机排序下不存在连续的维施克映射，表明存在结构性障碍。
• 连续维施克映射的不存在性与顶点集的超线性增长相关，后者破坏了连续性所必需的规律性。