[论文解读] Breaking Generator Symmetry

George Katsirelos, Nina Narodytska+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文研究了约束满足问题中对称性破缺的计算复杂性，重点关注矩阵模型中的行和列对称性。研究证明，虽然破缺生成元对称性是可 tractable 的，但通过行和列的字典序对称性进行剪枝则是 NP-难的，从而解决了全局约束传播中的一个长期开放问题。

ABSTRACT

Dealing with large numbers of symmetries is often problematic. One solution is to focus on just symmetries that generate the symmetry group. Whilst there are special cases where breaking just the symmetries in a generating set is complete, there are also cases where no irredundant generating set eliminates all symmetry. However, focusing on just generators improves tractability. We prove that it is polynomial in the size of the generating set to eliminate all symmetric solutions, but NP-hard to prune all symmetric values. Our proof considers row and column symmetry, a common type of symmetry in matrix models where breaking just generator symmetries is very effective. We show that propagating a conjunction of lexicographical ordering constraints on the rows and columns of a matrix of decision variables is NP-hard.

研究动机与目标

• 分析仅破缺生成元对称性与所有对称性时的完备性和可 tractable 性。
• 研究仅破缺生成元对称性是否在实践中足以消除所有对称解。
• 确定在破缺生成元对称性后，剪枝所有对称值的计算复杂性。
• 解决强制双重复字典序约束（在行和列上）是否可 tractable 的开放问题。
• 在矩阵模型中建立可 tractable 对称性破缺与不可 tractable 值剪枝之间的理论边界。

提出的方法

• 聚焦于矩阵模型中的行和列对称性，这是 CSP 中常见的一种对称性。
• 通过从 1-in-3 SAT 的约化构造一个矩阵模型，其中字典序约束编码了逻辑约束。
• 使用三种类型的组件：类型 1 用于变量，类型 2 用于子句，以及一个头部组件以隔离各部分并防止干扰。
• 构建一个 DoubleLex 约束，以同时强制行和列的字典序。
• 证明：DoubleLex 约束存在解，当且仅当原始的 1-in-3 SAT 公式可满足。
• 通过从 1-in-3 SAT 的多项式时间约化，证明了在 DoubleLex 约束上强制域一致性是 NP-难的。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅破缺生成元对称性是否足以在所有情况下消除所有对称解？
• RQ2 与破缺所有对称性相比，发布破缺生成元对称性的约束过程是否具有可 tractable 性？
• RQ3 在破缺生成元对称性后，剪枝所有对称值是否在计算上是可 tractable 的？
• RQ4 在矩阵模型的行和列上强制字典序约束的合取是否可 tractable ？
• RQ5 是否可以使用 DoubleLex 约束来建模 1-in-3 SAT，其计算复杂性如何？

主要发现

• 破缺生成元对称性是多项式时间可 tractable 的，因此是一种高效的对称性约简方法。
• 存在一些问题，即使存在完整的对称性破缺集合，仅破缺生成元对称性也无法消除所有对称解。
• 在破缺生成元对称性后，剪枝所有对称值是 NP-难的，即使对称性破缺约束本身是可 tractable 的。
• 在 DoubleLex 约束上强制域一致性（即行和列的字典序）是 NP-难的。
• 通过构造包含类型 1 和类型 2 组件的矩阵模型，证明了解存在的充要条件是底层的 1-in-3 SAT 公式可满足。
• 这解决了 Frisch 等人（2002）提出的关于双重复字典序全局约束复杂性的开放问题。