[论文解读] Breaking the Barrier Of 2 for the Competitiveness of Longest Queue Drop

Antonios Antoniadis, Matthias Englert+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 17被引用 1

一句话总结

该论文首次建立了共享内存交换机中长队列丢弃（LQD）算法竞争比的 (2−ε) 上限，证明其为 1.6918-competitive。通过引入一种精细化的势能函数分析方法，结合量身定制的下界估计，并利用Lambert W函数进行优化，作者打破了长期存在的2-competitive障碍，标志着在线缓冲管理领域的一项重大理论进展。

ABSTRACT

We consider the problem of managing the buffer of a shared-memory switch that transmits packets of unit value. A shared-memory switch consists of an input port, a number of output ports, and a buffer with a specific capacity. In each time step, an arbitrary number of packets arrive at the input port, each packet designated for one output port. Each packet is added to the queue of the respective output port. If the total number of packets exceeds the capacity of the buffer, some packets have to be irrevocably evicted. At the end of each time step, each output port transmits a packet in its queue and the goal is to maximize the number of transmitted packets. The Longest Queue Drop (LQD) online algorithm accepts any arriving packet to the buffer. However, if this results in the buffer exceeding its memory capacity, then LQD drops a packet from whichever queue is currently the longest, breaking ties arbitrarily. The LQD algorithm was first introduced in 1991, and is known to be $2$-competitive since 2001. Although LQD remains the best known online algorithm for the problem and is of practical interest, determining its true competitiveness is a long-standing open problem. We show that LQD is 1.6918-competitive, establishing the first $(2-\varepsilon)$ upper bound for the competitive ratio of LQD, for a constant $\varepsilon>0$.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：在共享内存交换机缓冲管理中，填补已知的2-competitive上界与最佳已知下界之间关于长队列丢弃（LQD）算法的竞争比差距。
• 通过在先前方法基础上进一步优化势能函数方法，为LQD提供更紧致的竞争比分析。
• 首次为LQD的竞争比建立(2−ε)上界，其中ε>0为正常数，从而解决一个长期悬而未决的开放问题。
• 形式化并优化传输增益与队列长度失衡之间的权衡，借助Lambert W函数等先进数学工具。

提出的方法

• 为每个输出队列q引入一种新颖的势能函数Φq，结合S-增加（来自OPT的额外传输）与L-增加（来自队列长度失衡）因素。
• 通过精心构造的序列b0, b1, ..., bj，推导出总势能增加∆Φq的下界，其中α和β为可调参数。
• 应用Stirling近似来界定势能函数增加中的对数项，从而实现精确的渐近分析。
• 利用Lambert W函数求解由令势能增加的导数为零所导出的关键最优性条件。
• 在参数α ∈ (0, 2/3]上进行优化，以最大化有效竞争比上界，其中β定义为1−√(1−α−α/2)。
• 采用一种计费论证方法，将OPT的额外传输映射到LQD的势能增益上，确保总势能增加超过OPT额外传输的包数。

实验结果

研究问题

• RQ1 长队列丢弃（LQD）算法的竞争比能否突破长期存在的2-competitive界限？
• RQ2 是否存在某个常数ε>0，使得LQD的竞争比存在(2−ε)上界？（如先前研究中所推测。）
• RQ3 在任意对抗性分组到达下，LQD所能达到的最紧竞争比是多少？
• RQ4 通过Lambert W函数进行解析优化的精细化势能函数方法，能否产生优于以往计费论证的可证明更优界？

主要发现

• 长队列丢弃（LQD）算法被证明为1.6918-competitive，首次为任意ε>0建立了(2−ε)的竞争比上界。
• 通过优化势能函数参数，实现了竞争比上界，其中最优α≈0.618906可使竞争比不超过1.6917948。
• 该分析引入了一种新的势能函数增加下界，结合对数项与调和项，并通过Stirling近似进行精细化处理。
• Lambert W函数的使用使得队列长度失衡与传输增益之间最优平衡的精确刻画成为可能。
• 该结果解决了在线缓冲管理领域长达二十年的开放问题，表明LQD的竞争性严格优于2。
• 该方法为使用势能函数技术分析缓冲管理中的在线算法提供了一个通用框架，可能可推广至其他变体。