[论文解读] Breakup of SUSY Quantum Mechanics in the Limit-Circle Region of the Reflective Kratzer Oscillator

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 71被引用 8

一句话总结

本文研究了反射性克雷茨勒振子在极限圆（LC）区域中标准超对称量子力学（SUSY QM）的失效，聚焦于离心势能的达布变换（DTs）。通过使用从弗罗贝尼乌斯解导出的蒂奇马什-韦伊尔-富尔顿（TWF）函数，推导出明确的变换规则，表明在LC区域中SUSY伴势违反了传统等谱性，证明了径向和c-Gauss参考势存在具有闭式离散能谱的非等谱伴势。

ABSTRACT

The paper studies violation of conventional rules of SUSY quantum mechanics for the centrifugal potential V(r) within the limit-circle (LC) range. A special attention is given to transformation properties of the Titchmarsh-Weyl m-function under Darboux deformations of the reflective Kratzer oscillator: centrifugal Kepler-Coulomb (KC) potential plus a Taylor series in r. Since our analysis is based on Fulton's representation of a regular-at-infinity solution [Math. Nachr. 281, 1418 (2008)] as a superposition of two Frobenius solutions at the origin, we refer to the appropriate expressions as the Titchmarsh-Weyl-Fulton (TWF) functions. Explicit transformation relations are derived for partner TWF functions associated with SUSY pairs of centrifugal potentials. It is shown that these relations have a completely different form for Darboux transformations (DTs) keeping the potential within the LC range. As an illustration, we use regular nodeless Frobenius solutions to construct SUSY partners of the radial r- and c-Gauss-reference (GRef) potentials solvable via hypergeometric and confluent hypergeometric functions, respectively. We explicitly demonstrate existence of non-isospectral partners of both radial potentials in the LC region and obtain their discrete energy spectra using the derived closed-form expressions for the TWF functions. The general transformation relations for the TWF function have been verified taking advantage of form-invariance of the radial GRef potentials under double-step DTs with the so-called 'basic' seed solutions (SSs). Similarly we directly ratify that TWF functions for three shape-invariant reflective potentials on the half-line -- hyperbolic Poschl-Teller (h-PT), Eckart/Manning-Rosen (E/MR), and centrifugal KC potentials - do retain their form under basic DTs.

研究动机与目标

• 分析标准SUSY QM规则在离心势的极限圆（LC）区域中的失效。
• 推导蒂奇马什-韦伊尔-富尔顿（TWF）函数在极限圆区域中达布变形下的变换规律。
• 在极限圆区域中构造径向和c-Gauss参考势的非等谱SUSY伴势。
• 通过使用基本种子解的双步达布变换，验证TWF函数的型不变性。
• 确认形状不变的反射势（h-PT、E/MR、KC）在基本达布变换下保持TWF函数的形式。

提出的方法

• 利用富尔顿对无穷远处正则解的表示，将其表示为原点处弗罗贝尼乌斯解的叠加，以定义蒂奇马什-韦伊尔-富尔顿（TWF）函数。
• 在极限圆（LC）范围内对离心势应用达布变换（DTs），聚焦于具有r的泰勒级数展开的反射性克雷茨勒振子。
• 推导SUSY伴势的TWF函数之间的显式变换关系，表明在LC区域中形式存在差异。
• 利用无节点的弗罗贝尼乌斯解，构造可由超几何函数和合流超几何函数求解的径向r-和c-Gauss参考（GRef）势的SUSY伴势。
• 通过使用'基本'种子解的双步达布变换下的型不变性，验证一般TWF变换规则。
• 验证三种形状不变反射势（双曲Pöschl-Teller、Eckart/Manning-Rosen和离心势开普勒-库仑）在基本DT下的TWF函数不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势能位于极限圆（LC）区域时，蒂奇马什-韦伊尔-富尔顿（TWF）函数在达布变换下的变换行为如何？
• RQ2 标准SUSY QM规则在LC区域中对离心势的失效程度如何？
• RQ3 能否在LC区域中为径向和c-Gauss参考势构造非等谱SUSY伴势？
• RQ4 形状不变的反射势的TWF函数在基本达布变换下是否保持其形式？
• RQ5 LC区域中非等谱SUSY伴势的离散能谱是什么？能否以闭式表达？

主要发现

• 在LC区域中，TWF函数在DT下的显式变换关系与标准SUSY QM存在根本性差异，表明传统等谱性被破坏。
• 利用无节点的弗罗贝尼乌斯解，在LC区域中显式构造了径向r-和c-Gauss参考（GRef）势的非等谱SUSY伴势。
• 利用TWF函数形式，推导出这些非等谱伴势的离散能谱的闭式表达式。
• 通过使用'基本'种子解的双步达布变换下的型不变性，验证了一般TWF变换规则。
• 三种形状不变反射势——双曲Pöschl-Teller、Eckart/Manning-Rosen和离心势开普勒-库仑——在基本DT下保持其TWF函数的函数形式，证实了不变性。
• 分析结果表明，SUSY QM规则在极限圆区域中被违反，尤其体现在TWF函数的变换行为上，即使对于可解势能亦如此。