[论文解读] Breather to the Yajima-Oikawa system

Junchao Chen, Yong Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文利用KP阶梯约化与双线性方法，为一维和二维Yajima-Oikawa（YO）系统构造了呼吸子解。通过复共轭变换 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $，识别出两类呼吸子，其包含同宿轨道与暗孤子作为特例，并通过长波极限推导出有理式与有理指数解——包括孤立子、线性怪波及混合结构。

ABSTRACT

The Yajima-Oikawa (YO) system describes the resonant interaction between long and short waves under certain condition. In this paper, through the KP hierarchy reduction, we construct the breather solutions for the YO system in one- and two-dimensional cases. Similar to Akhmediev and Kuznetsov-Ma breather solutions (the wavenumber k_i->ik_i) for the nonlinear Schrodinger equation, is shown that the YO system have two kinds ofbreather solutions with the relations p_{2k-1}->ip_{2k-1}, p_{2k}->-ip_{2k}, q_{2k-1}->iq_{2k-1} and q_{2k}->-iq_{2k}, in which the homoclinic orbit and dark soliton solutions are two special cases respectively. Furthermore, taking the long wave limit, we derive the rational and rational and rational-exp solutions which contain lump, line rogue wave, soliton and their mixed cases. By considering the further reduction, such solutions can be reduced to one-dimensional YO system.

研究动机与目标

• 通过先进的可积系统技术，推导一维与二维Yajima-Oikawa（YO）系统的呼吸子解。
• 通过复谱参数变换，建立YO系统呼吸子与Akhmediev/Kuznetsov-Ma类型之间的对应关系。
• 探索长波极限约化，获得有理式与有理指数解，包括孤立子与怪波结构。
• 展示在1D与2D YO系统中，如孤立子-孤立子与怪波-孤立子等混合解的出现与演化。

提出的方法

• 利用Hirota的双线性方法，通过因变量变换将YO系统转化为双线性形式。
• 应用KP阶梯约化技术生成精确解，特别聚焦于呼吸子与有理型解。
• 采用复谱参数代换 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $，$ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $，以生成两类不同的呼吸子族。
• 对呼吸子解进行长波极限分析，推导出有理式与有理指数解，包括孤立子与线性怪波结构。
• 利用含复相位参数的 $ f $、$ g $ 与 $ g^* $ 函数，显式推导1D与2D YO系统的Gram行列式解。
• 通过数值可视化验证解的正确性，展示如孤立子-怪波与孤子-怪波相互作用等混合态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过KP阶梯约化系统地构造一维与二维YO系统中的呼吸子解？
• RQ2 何种谱变换可生成YO系统中两类不同的呼吸子？它们与同宿轨道和暗孤子等已知解有何关联？
• RQ3 YO系统呼吸子解的长波极限下，会涌现出哪些有理式与有理指数解？
• RQ4 在YO系统中，如孤立子-怪波与怪波-孤子等混合解如何产生并演化？
• RQ5 二维YO系统解能否约化为一维情形？其结构特征是否得以保留？

主要发现

• 通过谱参数变换 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $，$ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $，推导出YO系统的两类不同呼吸子解，其推广了Akhmediev与Kuznetsov-Ma类型。
• 在特定参数极限下，同宿轨道与暗孤子解被证明是所推导呼吸子解的特例。
• 通过呼吸子解的长波极限，获得有理式与有理指数解，包括孤立子、线性怪波与孤子结构。
• 在二维YO系统中，显式构造并可视化了如一个孤立子（或怪波）与一个一般呼吸子（或孤子）组合的混合解。
• 通过进一步约化，1D YO系统可由2D解恢复，关键解类型如怪波-孤子与孤立子-怪波混合态得以保留。
• 数值示例（图21–25）证实了混合态的存在与动力学行为，包括在特定参数集下1D YO系统中怪波-孤子对的存在。