[论文解读] Bridgeland Moduli spaces for Gushel-Mukai threefolds and Kuznetsov's Fano threefold conjecture

Shizhuo Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文研究了 Gushel-Mukai 三复叠和四次双值面三复叠的 Kuznetsov 分量上的 Bridgeland 稳定条件，构建了稳定对象的模空间并分析其几何性质。证明了这些三复叠的 Kuznetsov 分量不等价，从而通过分析模空间的切空间结构，否定了 Kuznetsov 的 Fano 三复叠猜想的一个关键情形。

ABSTRACT

We study the Hilbert scheme $\mathcal{H}$ of twisted cubics on a special smooth Gushel-Mukai threefolds $X_{10}$. We show that it is a smooth irreducible projective threefold if $X_{10}$ is general among special Gushel-Mukai threefolds, while it is singular if $X_{10}$ is not general. We construct an irreducible component of a moduli space of Bridgeland stable objects in the Kuznetsov component of $X_{10}$ as a divisorial contraction of $\mathcal{H}$. We also identify the minimal model of Fano surface $\mathcal{C}(X_{10}')$ of conics on a smooth ordinary Gushel-Mukai threefold with moduli space of Bridgeland stable objects in the Kuznetsov component of $X_{10}'$. As a result, we show that the Kuznetsov's Fano threefold conjecture is not true

研究动机与目标

• 研究特殊 Gushel-Mukai 三复叠上扭曲三次曲线的 Hilbert 模空间的几何性质及其与 Bridgeland 模空间的关系。
• 确定四次双值面三复叠与 Gushel-Mukai 三复叠的 Kuznetsov 分量是否在范畴上等价。
• 通过分析导出范畴中稳定对象的模空间，解决 Kuznetsov Fano 三复叠猜想的一个关键情形。
• 证明四次双值面三复叠的直线 Fano 曲面不可能与 Gushel-Mukai 三复叠的圆锥模空间同构。

提出的方法

• 构建特殊 Gushel-Mukai 三复叠 $X_{10}$ 上扭曲三次曲线的 Hilbert 模空间 $\mathcal{H}$，基于双覆盖 $\pi: X_{10} \to Y_5$ 的分支 locus $\mathcal{B}$ 分析其光滑性。
• 在 Kuznetsov 分量 $\mathcal{K}u(X_{10})$ 上定义一个 Bridgeland 稳定条件 $\sigma'$，并从 $\mathcal{H}$ 出发，构造 $s = 1 - 3L + \frac{1}{2}P$ 的模空间 $\mathcal{M}_{\sigma'}(\mathcal{K}u(X_{10}), s)$。
• 分析 $\mathcal{K}u(Y_2)$ 和 $\mathcal{K}u(X_{10})$ 中稳定对象模空间的切空间结构，表明在奇点处维度存在差异。
• 利用 Fourier-Mukai 函子和数值 Grothendieck 群之间的等距关系比较模空间，在等价性假设下导出矛盾。
• 对 $\mathcal{H}$ 应用分层技术，区分映射到 $Y_5$ 上的扭曲三次曲线或圆锥的扭曲三次曲线，并研究其奇点集。
• 利用由假设等价性 $\widetilde{\Phi}$ 导出的态射 $\gamma: \Sigma(Y) \to p(\mathcal{C}(X'))$，证明模空间同构会导致光滑性与切空间维数的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gushel-Mukai 三复叠的 Kuznetsov 分量是否可能与四次双值面三复叠的 Kuznetsov 分量等价？
• RQ2 当分支 locus 包含直线或圆锥时，特殊 Gushel-Mukai 三复叠上扭曲三次曲线的 Hilbert 模空间是否仍保持光滑？
• RQ3 四次双值面三复叠的直线 Fano 曲面是否同构于 Gushel-Mukai 三复叠的圆锥模空间？
• RQ4 在假设等价性下，$\mathcal{K}u(Y_2)$ 和 $\mathcal{K}u(X_{10})$ 中 Bridgeland 稳定对象模空间的切空间是否匹配？
• RQ5 在 $\mathcal{K}u(Y_2)$ 与 $\mathcal{K}u(X_{10})$ 之间不存在 Fourier-Mukai 等价性的几何障碍是什么？

主要发现

• 当 $X_{10}$ 为一般情形时，即分支 locus $\mathcal{B}$ 不含直线或圆锥时，特殊 Gushel-Mukai 三复叠 $X_{10}$ 上扭曲三次曲线的 Hilbert 模空间 $\mathcal{H}$ 是光滑且不可约的。
• 若 $X_{10}$ 不是一般情形，$\mathcal{H}$ 变为奇异，其奇点集由有限个孤立点及有限条有理曲线构成，参数化具有公共直线分量的可约扭曲三次曲线。
• 模空间 $\mathcal{M}_{\sigma'}(\mathcal{K}u(X_{10}), s)$ 被构造为 $\mathcal{H}$ 的除子性收缩，为 Kuznetsov 分量中 Bridgeland 稳定对象提供了几何实现。
• 光滑普通 Gushel-Mukai 三复叠 $X_{10}'$ 上圆锥的 Fano 曲面 $\mathcal{C}_m(X_{10}')$ 的极小模型被识别为 $\mathcal{K}u(X_{10}')$ 中 Bridgeland 稳定对象的模空间。
• 通过证明在任意对应点处模空间的切空间维数无法匹配，尤其在奇点或维数跃迁发生时，本文证明了 $\mathcal{K}u(Y_2) \not\simeq \mathcal{K}u(X_{10})$。
• 在所有情形下均出现矛盾：当 $Y_2$ 和 $X_{10}'$ 均为一般情形时，仅一个为奇异时，或两者均非一般时，表明此类等价性不可能存在。