[论文解读] Bridgeland Stability conditions on threefolds I: Bogomolov-Gieseker type inequalities

Arend Bayer, Emanuele Macrì+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于标准 t-结构的双重倾斜构造，用于在光滑射影三维流形的导出范畴上构造布里吉兰德稳定性条件。它建立了稳定复形的第三陈示性类的波戈莫洛夫-吉泽克类型不等式，证明了在特定情形（如射影空间）下的不等式，并验证了在 $\pi^3$ 和某些二次曲面三维流形中，$\pi$-稳定性在大体积极限附近的稳定性条件的存在性。

ABSTRACT

We construct new t-structures on the derived category of coherent sheaves on smooth projective threefolds. We conjecture that they give Bridgeland stability conditions near the large volume limit. We show that this conjecture is equivalent to a Bogomolov-Gieseker type inequality for the third Chern character of certain stable complexes. We also conjecture a stronger inequality, and prove it in the case of projective space, and for various examples. Finally, we prove a version of the classical Bogomolov-Gieseker inequality, not involving the third Chern character, for stable complexes.

研究动机与目标

• 通过 t-结构的双重倾斜构造，在光滑射影三维流形的导出范畴上构造布里吉兰德稳定性条件。
• 在倾斜稳定性下，对稳定复形的第三陈示性类提出一个波戈莫洛夫-吉泽克类型不等式的猜想。
• 在特定情形（包括射影空间和某些二次曲面三维流形）下证明该猜想不等式。
• 在 $\pi^3$ 和其他具有全例外族的三维流形中，建立大体积极限附近稳定性条件的存在性。
• 当不等式成立时，验证中心荷 $Z_{\omega,B}$ 在由强例外族生成的 t-结构下定义了一个稳定性条件。

提出的方法

• 将心 $\mathcal{A}_{\omega,B}$ 构造为 $\mathrm{Coh}(X)$ 的双重倾斜：首先使用关于 $\omega$ 的斜率稳定性进行第一次倾斜，然后在所得范畴上使用新的稳定性条件进行第二次倾斜。
• 定义中心荷 $Z_{\omega,B}(E) = -\int_X e^{-B-i\omega} \mathrm{ch}(E)$，其通过数值格罗滕迪克群分解。
• 使用扭曲陈示性类 $\mathrm{ch}^B(E) = e^{-B}\mathrm{ch}(E)$ 将中心荷表示为 $\mathrm{ch}_1^B, \mathrm{ch}_2^B, \mathrm{ch}_3^B$ 的形式。
• 证明当 $s > \frac{7t-2}{6(t+1)}$ 且 $0 < t < \frac{1}{2}$ 时，对偶 $(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ 在 $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上定义了一个稳定性条件。
• 利用贝林森在 $\mathbb{P}^3$ 上的全例外族定义一个以 $\mathcal{C}$ 为心的 t-结构，并将其作为参考稳定性条件，以验证支持性质。
• 应用一个通用准则（命题 8.1.1）证明：若 $Z^{s,t}$ 在 $\mathcal{C}$ 上满足支持条件，则其在 $\mathcal{A}_t$ 上定义了一个稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大体积极限附近，光滑射影三维流形的导出范畴上是否存在布里吉兰德稳定性条件？
• RQ2 第三陈示性类的波戈莫洛夫-吉泽克类型不等式是否为这类稳定性条件存在性的必要且充分条件？
• RQ3 该猜想不等式是否可在特定情形（如 $\mathbb{P}^3$ 或二次曲面三维流形）下被证明？
• RQ4 心 $\mathcal{A}_{\omega,B}$ 的双重倾斜构造是否产生一个支持稳定性条件的有效 t-结构？
• RQ5 参数 $s,t$ 的精确范围为何，使得 $(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ 在 $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上定义一个稳定性条件？

主要发现

• 本文证明了对所有满足 $0 < t < \frac{1}{2}$ 且 $s > \frac{7t - 2}{6(t + 1)}$ 的有理数 $s,t$，对偶 $(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ 在 $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上定义了一个稳定性条件，包括 $s = 3t$ 的情形。
• 当 $\omega = \sqrt{3}$ 时，强猜想在 $t = \frac{\omega^2}{6} = \frac{1}{2}$ 且 $s = \frac{t}{3} = \frac{1}{6}$ 时成立，但此时 $Z^{1/6,1/2}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)) = 0$，因此该选择无法定义稳定性条件。
• 不等式 $s > \frac{7t - 2}{6(t + 1)}$ 是精确的：当 $s = \frac{1}{6}$ 且 $t = \frac{1}{2}$ 时，中心荷在 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ 上消失，违反了稳定性所需的正性条件。
• 作者通过强全例外族验证了在 $\omega^3 < \frac{1}{12\sqrt{3}}$ 时，二次曲面三维流形 $Q \subset \mathbb{P}^4$ 的导出范畴上存在稳定性条件。
• 证明依赖于证明由 $\mathcal{O}_Q(-1)[3], S(-1)[2], \mathcal{O}_Q[1], \mathcal{O}_Q(1)$ 生成的心 $\mathcal{C}$ 属于 $\langle \mathcal{A}_t, \mathcal{A}_t[1] \rangle$，从而可应用稳定性准则。
• 该构造可推广至其他具有强全例外族的三维流形（如 $\mathbb{P}^3$），通过验证线丛和旋子丛属于适当的倾斜范畴。