[论文解读] Bridging Classical and Quantum with SDP initialized warm-starts for QAOA

Reuben Tate, Majid Farhadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出 QAOA-warm，一种量子近似优化算法（QAOA）的变体，通过使用经典半定规划（SDP）松弛解作为热启动初始化，以提升低线路深度下的性能。通过以低秩 SDP 解初始化 QAOA，该方法在近似比方面显著优于标准 QAOA，在深度 p=1 时解决方案质量最高可提升 80%，并为秩-3 初始化提供了至少 0.66κ 的理论近似保证。

ABSTRACT

We study the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) in the context of the Max-Cut problem. Near-term (noisy) quantum devices are only able to (accurately) execute QAOA at low circuit depths while QAOA requires a relatively high circuit-depth in order to "see" the whole graph. We introduce a classical pre-processing step that initializes QAOA with a biased superposition of all possible cuts in the graph, referred to as a warm-start. In particular, our initialization informs QAOA by a solution to a low-rank semidefinite programming relaxation of the Max-Cut problem. Our experimental results show that this variant of QAOA, called QAOA-Warm, is able to outperform standard QAOA on lower circuit depths with less training time (in the optimization stage for QAOA's variational parameters). We provide experimental evidence as well as theoretical intuition on performance of the proposed framework.

研究动机与目标

• 解决标准 QAOA 在低线路深度下因噪声和纠缠生成有限而导致的性能差距。
• 提升在近期量子硬件上 Max-Cut 问题的 QAOA 解决方案质量和训练效率。
• 探究通过低秩 SDP 松弛进行经典预处理是否可增强量子变分优化性能。
• 为 QAOA-warm 在低深度下的近似比提供理论保证，特别是 p=0 和 p=1 的情况。
• 研究热启动对 QAOA 能量景观和优化动力学的影响。

提出的方法

• 使用 Max-Cut 的 Burer-Monteiro 低秩 SDP 松弛方法，计算一个经典、低秩解（秩 2 或 3）作为热启动态。
• 将 SDP 解映射为一个可分的量子态，作为 QAOA 的初始态，取代标准的 |+⟩^⊗n 初始化。
• 在热启动态上应用标准 QAOA 混合哈密顿量（横向场哈密顿量），通过经典优化方法优化变分参数 γ 和 β。
• 在 1,264 个 Max-Cut 实例（最多 12 个节点）上进行数值模拟，比较 QAOA-warm 与标准 QAOA 在深度 p=1、2、4、8 下的表现。
• 分析 QAOA-warm 的能量景观和参数敏感性，发现其具有类似山脊的结构，可能有助于优化。
• 证明理论界：当 κ 为 SDP 解的近似因子时，QAOA-warm 在 p=0 时对秩-2 初始态的近似比至少为 0.75κ，对秩-3 初始态至少为 0.66κ。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 SDP 解是否可作为有效热启动，以提升 QAOA 在低线路深度下的性能？
• RQ2 QAOA 电路本身在初始热启动态基础上的改进程度如何，是否超越了经典采样？
• RQ3 QAOA-warm 的能量景观与标准 QAOA 有何不同？是否能实现更高效的优化？
• RQ4 QAOA-warm 在低深度下（特别是 p=0）可建立何种理论近似保证？
• RQ5 QAOA-warm 是否对噪声具有鲁棒性，对初始参数是否敏感？其收敛速度和解决方案质量与标准 QAOA 相比如何？

主要发现

• 在 p=1 时，QAOA-warm 在 96.8% 的实例中优于标准 QAOA；在 p=2 时为 90.0%；在 p=4 时为 72.8%；在 p=8 时为 53.6%。
• 在 p=1 时，QAOA-warm 在 74 个实例中相对于热启动本身实现了至少 50% 的近似比提升，在 22 个实例中实现了至少 80% 的提升。
• 对于秩-3 初始态，QAOA-warm 在 p=0 时保证至少 0.66κ 的近似比，其中 κ 为 SDP 解的近似因子。
• 在 p=1 时，QAOA-warm 的能量景观呈现出类似山脊的结构，可能有助于更高效地优化变分参数。
• QAOA-warm 通过从高质量解附近开始，降低了对初始 (β, γ) 值的敏感性，从而在有利情况下有效解耦了优化过程与代价哈密顿量。
• 尽管在低深度下表现改进，QAOA-warm 在更高深度下仍无法收敛到最优解，表明其在未进一步改进的情况下存在可扩展性限制。