[论文解读] Bright Solitons Sustained by Long-Range Interactions in a System of Quantum Rotors

Ryan Plestid, D. H. J. O’Dell|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 1

一句话总结

该论文对具有长程相互作用的哈密顿平均场（HMF）模型——一种量子转子系统——的所有定态解进行了分类，表明由于自由薛定谔色散与非局部非线性之间的平衡，这些解可用Mathieu函数表示。经过伽利略变换后，这些解转化为亮孤子，揭示了具有不同节点数的无限多层此类孤子，展示了在长程相互作用系统中超越短程范式的孤子形成新机制。

ABSTRACT

The Hamiltonian Mean Field (HMF) model, which may be interpreted as a quantum rotor model with infinite-range interactions, is the most widely used toy model with which to study long-range interactions (LRI). It has demonstrated a remarkable ability to capture generic or universal features of $any$ system with LRI. In this work we provide a classification of $all~possible$ stationary solutions to the HMF model's generalized Gross-Pitaevskii equation (GGPE). These solutions are expressible in terms of Mathieu functions and arise due to a competition between free-Schrodinger dispersion and a $non ext{-}local$ non-linearity. Upon a Galilean transformation these solutions can transformed to finite velocity solitary waves (bright solitons). In contrast to the typical GPE, there are an infinite tower of bright solitons that emerge, each with a different number of nodes. Our results suggest that LRI can support solitary waves in manner that is novel relative to the typical short-range case.

研究动机与目标

• 对哈密顿平均场（HMF）模型中广义Gross-Pitaevskii方程（GGPE）的所有定态解进行分类，该模型是长程相互作用的典型系统。
• 理解非局部非线性与色散如何相互作用以维持量子转子系统中的局域结构。
• 探究长程相互作用是否能够支持具有与短程系统中不同特性的孤立波。
• 通过定态解的解析变换，建立HMF模型中亮孤子的存在性与结构。

提出的方法

• 推导并分析HMF模型的广义Gross-Pitaevskii方程（GGPE），该方程描述具有无限程相互作用的量子转子。
• 使用特殊函数，特别是Mathieu函数，求解GGPE，以获得所有可能的定态解。
• 对定态解应用伽利略变换，将其转换为运动的孤立波解（亮孤子）。
• 通过其节点结构表征所得孤子，揭示出一个具有无限多个不同节点数的孤子家族。
• 分析自由薛定谔色散与非局部非线性之间的相互作用，作为孤子形成物理解释的物理根源。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有长程相互作用的HMF模型中，广义Gross-Pitaevskii方程的所有可能定态解是什么？
• RQ2 非局部非线性与色散如何结合以稳定量子转子系统中的局域结构？
• RQ3 长程相互作用是否能够支持亮孤子的离散或连续族？它们与短程系统中的孤子有何区别？
• RQ4 伽利略变换在从定态解生成有限速度的亮孤子中起什么作用？
• RQ5 解的节点结构如何与多个不同亮孤子族的存在相关联？

主要发现

• HMF模型GGPE的所有定态解均可表示为Mathieu函数，其来源于自由薛定谔色散与非局部非线性之间的竞争。
• 该系统支持一个无限多层的亮孤子，每种孤子由不同的节点数表征，其来源于定态解的伽利略变换。
• 多个孤子族的出现是HMF模型中非线性非局部性的直接结果，这与短程相互作用有本质区别。
• 孤子是通过色散与非局部相互作用之间的平衡维持的稳定结构，表明了一种孤波形成的新型机制。
• 结果表明，长程相互作用能够以与典型短程Gross-Pitaevskii框架定性不同的方式支持孤立波。