[论文解读] Brill-Noether theory on singular curves and vector bundles on K3 surfaces

Tomás L. Gómez|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 2

一句话总结

本文在 −K_S 由全局截面生成的正则曲面上，将 Fulton 和 Lazarsfeld 在光滑曲线上关于 Brill-Noether 簇的连通性结果，推广至位于其上的奇点不可约曲线上。利用此结果，本文为 K3 曲面上秩 2 半稳定无挠层的模空间的不可约性提供了新证明，该结果此前由 O'Grady 通过不同方法证明。

ABSTRACT

Let C be a smooth curve. Let W r d be the Brill-Noether locus of line bundles of degree d and with r + 1 independent sections. W r d has a expected dimension ρ(r, d) = g − (r + 1)(g − d + r). If ρ(r, d)> 0 then Fulton and Lazarsfeld have proved that W r d is connected. We prove that this is still true if C is a singular irreducible curve lying on a regular surface S with −KS generated by global sections. We use this result to give a new proof of the irreducibility of the moduli space of rank 2 semistable torsion free sheaves (with a generic polarization and any value of c2) on a K3 surface (this result was recently proved by a different method by O’Grady). This paper has two quite independent parts. In the first part we prove a result on the connectedness of the Brill-Noether locus for a singular curve (theorem I), and in the second part we use this result to give a proof about the irreducibility of the moduli space of vector bundles of rank 2 on a K3

研究动机与目标

• 将 Fulton 和 Lazarsfeld 在光滑曲线上关于 Brill-Noether 簇的连通性结果，推广至位于正则曲面上且 −K_S 由全局截面生成的奇点不可约曲线上。
• 研究嵌入在 −K_S 由全局截面生成的曲面中的奇点曲线上线丛的几何性质。
• 将连通性结果应用于 K3 曲面上秩 2 半稳定无挠层的模空间。
• 通过不同于以往的方法，为该模空间的不可约性提供替代证明。

提出的方法

• 在 −K_S 由全局截面生成的正则曲面 S 上使用奇点曲线设定，以推广 Brill-Noether 理论。
• 应用形变理论技术，分析奇点曲线上 W^r_d 的连通性。
• 利用曲面 S 的几何性质与 canonical 除子的性质，控制线丛的行为。
• 通过几何论证，将模空间不可约性问题约化为 Brill-Noether 簇的连通性。
• 将奇点曲线的结果作为关键输入，证明 K3 曲面上秩 2 层的模空间不可约性。
• 结合曲线的代数几何与 K3 曲面上向量丛的结果，建立主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 −K_S 由全局截面生成的正则曲面上的奇点不可约曲线上，Brill-Noether 簇 W^r_d 是否仍保持连通？
• RQ2 能否利用奇点曲线上 W^r_d 的连通性，推导出 K3 曲面上层模空间的几何性质？
• RQ3 K3 曲面上秩 2 半稳定无挠层的模空间是否不可约？能否通过奇点曲线上 Brill-Noether 理论证明这一点？
• RQ4 在具有 nef 反 canonical 除子的曲面上，奇点曲线设定如何影响线性系统及其簇的结构？
• RQ5 曲面 S 的何种几何约束可确保在奇点情形下 Brill-Noether 簇保持连通？

主要发现

• 当 −K_S 由全局截面生成时，奇点不可约曲线 C 在正则曲面 S 上的 Brill-Noether 簇 W^r_d 是连通的。
• 该连通性结果将 Fulton 和 Lazarsfeld 的经典定理从光滑曲线推广至更广泛的奇点曲线类。
• 在反 canonical 除子 −K_S 无基点且由全局截面生成的条件下，建立了奇点曲线上 W^r_d 的连通性。
• 该结果被应用于证明：在任意固定 c2 与一般极化下，K3 曲面上秩 2 半稳定无挠层的模空间是不可约的。
• 该证明为 O'Grady 之前通过不同方法证明的结果，提供了一条新的几何途径。
• 本文表明，曲面 S 的几何性质以及奇点曲线上线丛的行为，可对层的模空间产生强结论。