[论文解读] Brillinger mixing of determinantal point processes and statistical applications

Christophe A. N. Biscio, Frédéric Lavancier|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 36被引用 17

一句话总结

本文证明了平稳确定性点过程（DPP）具有Brillinger混合性，这是一种关键的遍历性性质，可支持渐近统计推断。作者证明了一类广泛DPP泛函的中心极限定理，从而得出强度估计量的渐近正态性，以及首次获得的对对相关函数核估计量的渐近正态性结果。

ABSTRACT

Stationary determinantal point processes are proved to be Brillinger mixing. This property is an important step towards asymptotic statistics for these processes. As an important example, a central limit theorem for a wide class of functionals of determinantal point processes is established. This result yields in particular the asymptotic normality of the estimator of the intensity of a stationary determinantal point process and of the kernel estimator of its pair correlation.

研究动机与目标

• 建立平稳确定性点过程（DPP）的Brillinger混合性，这是实现渐近统计推断的关键一步。
• 将基于混合的一般渐近结果推广至DPP的特定情形，利用其已知的矩结构。
• 推导DPP强度估计量的渐近正态性，通过一种新方法验证已知结果。
• 建立DPP对相关函数核估计量渐近正态性的新结果。
• 为参数DPP模型中的最小对比估计及其他统计推断程序提供理论基础。

提出的方法

• 证明对于所有 $k \geq 2$，DPP的第 $k$ 阶简化阶乘累积量测度的总变差有限，满足Brillinger混合的定义。
• 利用DPP的阶乘矩测度和累积量的已知闭式表达式，特别是其联合强度的行列式结构。
• 将[16]、[9]和[10]中关于Brillinger混合过程的一般渐近结果应用于DPP，简化并扩展了在平稳DPP背景下的结论。
• 通过显式公式推导泛函的渐近方差，涉及简化二阶累积量测度 $c^{\text{red}}_{[2]}(y)$ 和强度 $\rho$。
• 将Brillinger混合过程的中心极限定理应用于形如 $\sum_{x \in \mathbf{X}} f(x)$ 和 $\sum_{(x,y) \in \mathbf{X}^2}^{\neq} f(x,y)$ 的泛函，得出渐近正态性结果。
• 利用测试函数 $f$ 和 $h$ 的对称性与紧支集性质，简化极限定理中的协方差与方差表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 平稳确定性点过程（DPP）是否具有Brillinger混合性？
• RQ2 DPP的Brillinger混合性是否意味着过程泛函的渐近正态性？
• RQ3 能否证明DPP对相关函数核估计量的渐近正态性？
• RQ4 平稳DPP中强度估计量的渐近方差是多少？
• RQ5 基于混合过程的一般渐近统计框架是否可应用于DPP并得以简化？

主要发现

• 证明了平稳DPP具有Brillinger混合性，因为其所有阶数 $k \geq 2$ 的简化阶乘累积量测度的总变差有限。
• 为一类广泛DPP泛函建立了中心极限定理，包括在点过程上对有界、紧支集函数求和的泛函。
• 平稳DPP的强度估计量具有渐近正态性，通过一种基于混合的新方法验证了已知结果。
• 本文首次证明了DPP对相关函数核估计量的渐近正态性。
• 强度估计量的渐近方差以简化二阶累积量测度和强度 $\rho$ 表达。
• 结果为参数DPP模型中最小对比估计量的渐近正态性提供了理论基础，该结果已在正在进行的工作[2]中应用。