[论文解读] Bringing Order to Special Cases of Klee's Measure Problem

Karl Bringmann|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过新颖的归约方法，建立了 Klee 测度问题（KMP）特殊情形之间的全面层次结构，证明了超体积（Hypervolume）是其中最简单的变体，且立方体-KMP 与单位立方体-KMP 的运行时间呈多项式相关。关键的是，它表明任何针对 KMP 的运行时间为 $ T(n,d) $ 的算法，都可导出针对一般情形的运行时间为 $ T(n,2d) $ 的算法，从而将 $\textup{W}[1]$-难解性与紧致下界从一般 KMP 传递到所有特殊情形，前提是指数时间假设成立。

ABSTRACT

Klee's Measure Problem (KMP) asks for the volume of the union of n axis-aligned boxes in d-space. Omitting logarithmic factors, the best algorithm has runtime O*(n^{d/2}) [Overmars,Yap'91]. There are faster algorithms known for several special cases: Cube-KMP (where all boxes are cubes), Unitcube-KMP (where all boxes are cubes of equal side length), Hypervolume (where all boxes share a vertex), and k-Grounded (where the projection onto the first k dimensions is a Hypervolume instance). In this paper we bring some order to these special cases by providing reductions among them. In addition to the trivial inclusions, we establish Hypervolume as the easiest of these special cases, and show that the runtimes of Unitcube-KMP and Cube-KMP are polynomially related. More importantly, we show that any algorithm for one of the special cases with runtime T(n,d) implies an algorithm for the general case with runtime T(n,2d), yielding the first non-trivial relation between KMP and its special cases. This allows to transfer W[1]-hardness of KMP to all special cases, proving that no n^{o(d)} algorithm exists for any of the special cases under reasonable complexity theoretic assumptions. Furthermore, assuming that there is no improved algorithm for the general case of KMP (no algorithm with runtime O(n^{d/2 - eps})) this reduction shows that there is no algorithm with runtime O(n^{floor(d/2)/2 - eps}) for any of the special cases. Under the same assumption we show a tight lower bound for a recent algorithm for 2-Grounded [Yildiz,Suri'12].

研究动机与目标

• 厘清代数 KMP 特殊情形（立方体-KMP、单位立方体-KMP、超体积、$k$-基底）的相对复杂性。
• 通过算法归约建立这些特殊情形之间的正式层次结构。
• 将一般 KMP 的难解性结果传递到其特殊情形，证明在指数时间假设下，任何特殊情形均不存在 $ n^{o(d)} $ 的算法。
• 为特定算法提供紧致下界，包括针对 2-基底的 $ \mathcal{O}(n^{(d-1)/2}\log^2 n) $ 算法。
• 识别 KMP 及其变体复杂性中的开放问题，特别是最优运行时间指数与推广问题。

提出的方法

• 从一般 KMP 到 $ 2k $-基底实例的归约，表明若存在一个运行时间为 $ T(n,d) $ 的 $ k $-基底算法，则可导出一个运行时间为 $ T(n,2d) $ 的一般 KMP 算法。
• 在每一维上迭代进行坐标分割，将一个 KMP 实例分解为 $ 2d+1 $ 个更小的 $ k $-基底实例，每个实例的盒子数不超过 $ (1 - \alpha)n $。
• 利用在所有维度上均平凡的盒子（即等于固定盒子 $[a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d]$）仅在完全相同时才贡献体积的性质，从而简化剩余实例。
• 递归应用该归约以放大参数规模，通过递推关系推导渐近运行时间界。
• 建立递推关系 $ T_{\textsc{$k$-Grounded}}'(n,d) \leqslant \mathcal{O}(T_{\textsc{$k$-Grounded}}((1-\alpha)n,d)) $，从而可将一般问题的运行时间界用 $ k $-基底问题的运行时间界进行界定。
• 利用 KMP 的 $ \textup{W}[1] $-难解性（通过 $ k $-团问题归约）推导出：在指数时间假设下，任何特殊情形均不存在 $ n^{o(d)} $ 的算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hypervolume 与 Unitcube-KMP 的运行时间之间是否存在类似 Cube-KMP 与 Unitcube-KMP 之间已知的多项式关系？
• RQ2 2-基底的 $ \mathcal{O}(n^{(d-1)/2}\log^2 n) $ 算法能否推广至 $ \mathcal{O}(n^{(d-k)/2+o(1)}) $ 形式，适用于 $ 2k $-基底？
• RQ3 在最优运行时间 $ n^{c_d \cdot d \pm \mathcal{O}(1)} $ 中，Hypervolume 以及 Cube-KMP/Unitcube-KMP 的指数 $ c_d $ 的精确值是多少？
• RQ4 是否存在从 $ k $-基底到一般 KMP 的反向归约，且满足 $ d' < d $，从而建立两者之间更紧密的对应关系？
• RQ5 若一般 KMP 不存在改进算法（即不存在 $ \mathcal{O}(n^{d/2 - \varepsilon}) $ 算法），是否意味着所有特殊情形的紧致下界为 $ \Omega(n^{\lfloor d/2\rfloor/2 - \varepsilon}) $ ？

主要发现

• 本文证明，超体积是所研究特殊情形中最简单的，因其拥有目前已知最快的算法，且可由其他情形归约而来。
• 立方体-KMP 与单位立方体-KMP 的运行时间呈多项式相关，即任一问题的改进将导致另一问题的改进。
• 任何针对 $ k $-基底的运行时间为 $ T(n,d) $ 的算法，都可导出针对一般 KMP 的运行时间为 $ T(n,2d) $ 的算法，从而建立了通用问题与其特殊情形之间的根本联系。
• 在指数时间假设下，由于 $ \textup{W}[1] $-难解性从 KMP 传递到所有特殊情形，因此任一特殊情形均不存在 $ n^{o(d)} $ 的算法。
• 假设一般 KMP 不存在改进算法（即不存在 $ \mathcal{O}(n^{d/2 - \varepsilon}) $ 算法），本文证明所有特殊情形的紧致下界为 $ \Omega(n^{\lfloor d/2\rfloor/2 - \varepsilon}) $。
• 在相同假设下，本文为所有特殊情形提供了约 $ n^{(d-1)/4} $ 的紧致下界，并确认了 2-基底的 $ \mathcal{O}(n^{(d-1)/2}\log^2 n) $ 算法的最优性。