[论文解读] Broad Band Solitons in a Periodic and Nonlinear Maxwell System

Dmitry E. Pelinovsky, Gideon Simpson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2011

Advanced Fiber Laser Technologies参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究了一维周期性与非线性麦克斯韦系统中宽带孤子的存在性，该系统具有由狄拉克δ函数构成的折射率。通过渐近分析、解析方法与数值方法，利用分歧理论与数值延拓，证明了在能带边缘附近存在小振幅、空间局域化的禁带孤子，并展示了其在截断系统中的鲁棒性，验证了长时动态中非线性薛定谔方程（NLS）近似的有效性。

ABSTRACT

We consider the one-dimensional Maxwell equations with low contrast periodic linear refractive index and weak Kerr nonlinearity. In this context, wave packet initial conditions with a single carrier frequency excite infinitely many resonances. On large but finite time-scales, the coupled evolution of backward and forward waves is governed by nonlocal equations of resonant nonlinear geometrical optics. For the special class of solutions which are periodic in the fast phase, these equations are equivalent to an infinite system of nonlinear coupled mode equations, the so called it extended nonlinear coupled mode equations, xNLCME. Numerical studies support the existence of long-lived spatially localized coherent structures, featuring a slowly varying envelope and a train of carrier shocks. In this paper we explore, by analytical, asymptotic and numerical methods, the existence and properties of spatially localized structures of the xNLCME system, which arises for a refractive index profile consisting of periodic array of Dirac delta functions. We consider the limit of small amplitude solutions with frequencies near a band-edge. In this case, stationary xNLCME is well-approximated by an infinite system of coupled, stationary, nonlinear Schrödinger equations, the extended nonlinear Schrödinger system, xNLS. We embed xNLS in a one-parameter family of equations, xNLS$^ε$, which interpolates between infinitely many decoupled NLS equations ($ε=0$) and xNLS ($ε=1$). Using bifurcation methods we show existence of solutions for a range of $ε\in(-ε_0,ε_0)$ and, by a numerical continuation method, establish the continuation of certain branches all the way to $ε=1$. Finally, we perform time-dependent simulations of truncated xNLCME and find the small-amplitude solitons to be robust to both numerical errors and the NLS approximation.

研究动机与目标

• 研究由周期性非线性麦克斯韦系统导出的扩展非线性耦合模方程（xNLCME）中空间局域化相干结构的存在性。
• 在小振幅解接近能带边缘的极限下分析该系统，此时xNLCME可近似为无限个耦合的非线性薛定谔方程（xNLS）的系统。
• 在参数范围为一维参数族（介于解耦与完全耦合NLS方程之间）的情况下，建立非平凡局域解的存在性。
• 通过时间依赖模拟与数值误差分析，展示近能带边缘禁带孤子的鲁棒性，验证NLS近似的有效性。
• 指出关于xNLCME与xNLS中局域解的存在性及其函数空间正则性问题的开放性挑战。

提出的方法

• 利用多尺度渐近分析，从具有低对比度周期性折射率与弱克尔非线性的麦克斯韦方程中推导出扩展非线性耦合模方程（xNLCME）。
• 在小振幅与能带边缘极限下，将xNLCME近似为无限个定态非线性薛定谔方程（xNLS）的系统。
• 引入一个一参数族方程xNLSϵ，其在ϵ=0时为解耦NLS，在ϵ=1时为xNLS，以研究解的分歧行为。
• 应用分歧理论证明当ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀)时存在非平凡解，并利用数值延拓将解分支从ϵ≈0扩展至ϵ=1。
• 对截断的xNLCME系统进行时间依赖模拟，采用伪谱空间离散化与RK4时间积分方法，评估孤子的稳定性。
• 使用雷利-里茨变分近似法（单参数与高斯形式）探测临界点的存在性，并验证解的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有周期性狄拉克δ函数折射率的扩展非线性耦合模方程（xNLCME），是否存在非平凡的空间局域化解？
• RQ2 能否通过分歧方法在一系列耦合参数范围内建立xNLS系统中局域解的存在性？
• RQ3 在截断的xNLCME系统中，小振幅近能带边缘禁带孤子在时间演化下有多强的鲁棒性？
• RQ4 非线性薛定谔（NLS）近似在多大程度上能准确描述这些局域结构的动力学行为？
• RQ5 解的存在性应属于何种适当的函数空间？对于xNLCME的任意有限截断，是否存在解的存在性证明？

主要发现

• 在小振幅与能带边缘区域，xNLCME系统中存在非平凡局域解，分歧分析已确认当ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀)时成立。
• 数值延拓成功地将解分支从ϵ≈0扩展至ϵ=1，表明在完全耦合极限下局域结构仍能持续存在。
• 对截断xNLCME系统的时域模拟表明，小振幅近能带边缘禁带孤子保持局域性，且对数值误差与截断效应具有鲁棒性。
• NLS近似能准确捕捉这些孤子的动力学行为，且当μ→0（非线性更小时）其一致性更优。
• 高斯与单参数雷利-里茨近似表明存在临界点，但严格的存在性证明仍为开放问题。
• 在不同截断（2模、4模）与不同域尺寸下均观察到鲁棒性，低非线性（μ=0.1）时畸变最小，高非线性（μ=0.4）时振荡增加。