[论文解读] Broadcast Dimension of Graphs

Jesse Geneson, Eunjeong Yi|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文引入了广播维度（broadcast dimension），一种新型的度量维度变体，通过使用不同功率等级的发射器来建模网络分辨率。该文建立了基本界限，证明了对于n个顶点的图，广播维度的下限为Ω(log n)，并表明广播维度可显著小于度量维度或邻接维度，其在图的鲁棒性与算法复杂性方面具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of broadcast dimension, a variant of metric dimension. Let $G$ be a graph with vertex set $V(G)$, and let $d(u,w)$ denote the length of a $u-w$ geodesic in $G$. For $k \ge 1$, let $d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$. A function $f: V(G) ightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ is called a resolving broadcast of $G$ if, for any distinct $x,y \in V(G)$, there exists a vertex $z \in V(G)$ such that $f(z)=i>0$ and $d_{i}(x,z) eq d_{i}(y,z)$. The broadcast dimension, $bdim(G)$, of $G$ is the minimum of $c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$ over all resolving broadcasts of $G$, where $c_f(G)$ can be viewed as the total cost of the transmitters (of various strength) used in resolving the entire network described by the graph $G$. Note that $bdim(G)$ reduces to $adim(G)$ (the adjacency dimension of $G$, introduced by Jannesari and Omoomi in 2012) if the codomain of resolving broadcasts is restricted to $\{0,1\}$. We determine its value for cycles, paths, and other families of graphs. We prove that $bdim(G) = Ω(\log{n})$ for all graphs $G$ of order $n$, and that the result is sharp up to a constant factor. We show that $\frac{adim(G)}{bdim(G)}$ and $\frac{bdim(G)}{dim(G)}$ can both be arbitrarily large, where $dim(G)$ denotes the metric dimension of $G$. We also examine the effect of vertex deletion on the adjacency dimension and the broadcast dimension of graphs.

研究动机与目标

• 正式化并研究广播维度，这是一种新型图参数，用于建模具有不同传输功率的发射器的网络分辨率。
• 确定路径、环和树等基本图族的广播维度。
• 分析广播维度、邻接维度与标准度量维度之间的关系。
• 研究顶点删除对广播维度与邻接维度的影响。
• 探索算法复杂性，包括多项式时间算法的存在性，以及最小解析广播的枚举。

提出的方法

• 定义一个解析广播函数 f: V(G) → ℤ⁺ ∪ {0}，其中 f(v) 表示顶点 v 处的发射器功率。
• 引入 dₖ(x,y) = min{d(x,y), k+1} 以建模具有有限范围的发射器的距离解析。
• 将广播维度 bdim(G) 定义为所有解析广播 f 中总成本 ∑f(v) 的最小值。
• 利用组合与极值图论推导 bdim(G) 的上下界。
• 分析图的结构特性（例如路径、环、树）以计算 bdim(G) 的精确值。
• 设计算法以在 2^O(n) 时间内枚举所有最小成本解析广播。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图 G 满足 dim(G) = bdim(G)？
• RQ2 哪些图 G 满足 bdim(G) = adim(G)？
• RQ3 是否存在满足 bdim(G) = k 且 adim(G) = 2^Ω(k) 的图？
• RQ4 对于每棵树 T，bdim(T) 和 adim(T) 的值是多少？
• RQ5 是否存在一个多项式时间算法，可计算任意图 G 的 bdim(G)？

主要发现

• 对于所有阶为 n 的图，广播维度的下限为 Ω(log n)，且该界限在常数因子内是紧的。
• 比率 bdim(G)/dim(G) 与 adim(G)/bdim(G) 均可任意大，表明广播维度可显著小于度量维度或邻接维度。
• 对于环与路径，广播维度的精确值已被确定：bdim(C_n) = Θ(log n)，bdim(P_n) = Θ(log n)。
• 存在某些图，其顶点删除会使邻接维度增加 1，但会使广播维度增加超过 1，表明二者具有不同的鲁棒性特征。
• 存在一种算法，可在 2^O(n) 时间内列出所有最小解析广播，且由于某些图族存在指数级下界，该算法在最坏情况下是最优的。
• 图的广播维度可严格小于其邻接维度，且该差距可无限增大。