[论文解读] Broadcasts in Graphs: Diametrical Trees

L. Gemmrich, Christina M. Mynhardt|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过为毛毛虫树（caterpillars）提供完整的结构表征，刻画了直径树（diametrical trees）——即上广播支配数等于图直径的树。证明了当且仅当其中心路径满足特定的度数和叶子邻接约束时，毛毛虫树为直径树，从而解决了广播支配理论中的一个开放问题。

ABSTRACT

A dominating broadcast on a graph G with vertex set V is a function f that maps V to {0,1,...,diam(G)} such that f(v) does not exceed e(v) (the eccentricity of v) for all vertices v, and each vertex u is at distance at most f(v) from a vertex v with positive f(v). The upper broadcast domination number of G is Γ_{b}(G), which equals the maximum of the sum of the function values f(v), the maximum being taken over all minimal dominating broadcasts f on G. As shown by Erwin in [D. Erwin, Cost domination in graphs, Doctoral dissertation, Western Michigan University, 2001], Γ_{b}(G) is bounded below by diam(G) for any graph G. We investigate trees whose upper broadcast domination number equal their diameter and, among more general results, characterize caterpillars with this property.

研究动机与目标

• 刻画满足上广播支配数等于直径的树，该问题在先前文献中尚未解决。
• 研究使最小支配广播达到最大代价等于直径的结构约束。
• 提供直径毛毛虫树的完整表征，这是树的一个关键子类。
• 建立树的上广播支配数相对于其直径最小化的必要与充分条件。

提出的方法

• 通过函数 f: V → {0,1,…,diam(G)} 定义广播支配，其中 f(v) ≤ eccentricity(v)，确保每个顶点都在某个满足 f(v) ≥ 1 的顶点 v 的距离 f(v) 内。
• 将上广播支配数 Γb(G) 定义为所有最小支配广播中代价的最大值。
• 使用结构引理分析非直径树，特别是那些与直径路径内部不相交的长度 ≥3 的路径。
• 应用归纳法与子树分解，通过删边后隔离子树以界定广播代价。
• 利用私有邻域（PNf(v)）与边界邻域（PBf(v)）分析过度支配与最小广播结构。
• 通过广播顶点及其私有边界的情况分析，使用反证法证明主结论，表明代价不可能超过直径。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些树满足 Γb(T) = diam(T)，其结构特性为何？
• RQ2 毛毛虫树的中心路径与叶子附着需满足何种条件，才能使其上广播支配数等于直径？
• RQ3 直径毛毛虫树的表征能否推广至包含一条长度至少为二且与直径路径内部不相交的路径的一般树？
• RQ4 上广播支配数与树中其他支配参数（如 Γ(T) 和 α(T)）之间有何关系？
• RQ5 上广播支配数是否关于等距子图具有单调性？

主要发现

• 若毛毛虫树 T 的直径路径为 P = v₀, v₁, ..., v_d，则 T 为直径树当且仅当每个内部顶点 v_i（1 ≤ i ≤ d−1）的叶子数不超过两个。
• 对任意 i ∈ {1, ..., d−2}，顶点 v_i 与 v_{i+1} 的最小度数必须恰好为 2。
• 若两个顶点 v_i 与 v_j（i < j）各自至少有两个叶子，则存在某个顶点 v_k（k ∈ (i, j)）使得 deg(v_k) = deg(v_{k+1}) = 2。
• 若树包含一条长度至少为三且与直径路径内部不相交的路径，则该树不可能是直径树。
• 对于满足毛毛虫树表征的所有树，上广播支配数 Γb(T) 上界为直径。
• 证明表明，此类直径毛毛虫树的任意最小支配广播的总代价不可能超过 d，且仅在所述结构条件下可达到等号。