[论文解读] Brody hyperbolicity of base spaces of families of varieties with maximal variation

Mihnea Popa, Behrouz Taji+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文证明了具有最大变差且拥有良好极小模型的光滑代数簇族的拟射影基空间是Brody双曲的，即不包含Zariski稠密的全纯曲线。该结果证实了Viehweg与Zuo的猜想，表明极化代数簇的模堆栈是Brody双曲的，从而推进了模理论中双曲性理论的理解。

ABSTRACT

We prove that quasi-projective base spaces of smooth families of varieties admitting a good minimal model and with maximal variation do not admit Zariski dense entire curves. We deduce the fact that moduli stacks of polarized varieties are Brody hyperbolic, answering a question of Viehweg and Zuo.

研究动机与目标

• 研究具有最大变差的代数簇族基空间的双曲性性质。
• 确定此类基空间是否包含Zariski稠密的全纯曲线。
• 建立极化代数簇模堆栈的Brody双曲性，解决Viehweg与Zuo提出的问题。
• 将双曲性结果推广至存在良好极小模型的族。

提出的方法

• 在具有最大变差的代数簇族背景下，运用极小模型理论与canonical线丛理论。
• 应用对数几何以及极小模型程序中奇点研究的成果。
• 采用Brody双曲性的概念，分析基空间中全纯曲线的不存在性。
• 利用变差的最大性来约束基空间及其canonical线丛的几何结构。
• 利用良好极小模型的存在性来控制canonical类，并应用双曲性判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有最大变差且拥有良好极小模型的光滑代数簇族的基空间是否包含Zariski稠密的全纯曲线？
• RQ2 极化代数簇的模堆栈是否是Brody双曲的？
• RQ3 能否从变差的最大性与良好极小模型的存在性推导出基空间的双曲性？
• RQ4 此类族中canonical线丛的行为如何约束全纯曲线的存在性？

主要发现

• 任意具有最大变差且拥有良好极小模型的光滑代数簇族的基空间均为Brody双曲的。
• 此类基空间不包含Zariski稠密的全纯曲线。
• 极化代数簇的模堆栈是Brody双曲的，证实了Viehweg与Zuo的猜想。
• 该结果在族中代数簇存在良好极小模型的假设下成立。