[论文解读] Bronsted-Rockafellar property and maximality of monotone operators representable by convex functions in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文证明，在非自反巴拿赫空间中，若一个下半连续的凸函数 $ h: X \times X^* \to \overline{\mathbb{R}} $ 满足 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 且对所有 $ (x,x^*), (x^*,x^{**}) $ 有 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $，则其次水平集生成一个极大单调算子。关键贡献在于证明此类算子满足严格的布龙斯特德-罗卡拉尔性质，将已知结果从自反情形推广至非自反情形。

ABSTRACT

In this work we are concerned with maximality of monotone operators representable by certain convex functions in non-reflexive Banach spaces. We also prove that these maximal monotone operators satisfy a Bronsted-Rockafellar type property. We show that if a function in XxX^* and its conjugate are above the duality product in their respective domains, then this function represents a maximal monotone operator.

研究动机与目标

• 建立在非自反巴拿赫空间中，通过凸函数表示的算子的极大单调性的充分条件。
• 利用凸表示将布龙斯特德-罗卡拉尔性质推广至非自反情形。
• 刻画菲茨帕特里克函数及其共轭与 $ X \times X^* $ 和 $ X^* \times X^{**} $ 中对偶积的关系。
• 解决广义条件 (4) 是否足以保证在非自反空间中极大单调性的问题。

提出的方法

• 在 $ X \times X^* $ 上定义一个凸函数 $ h $，使得对所有 $ x^{**} \in X^{**} $，有 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 且其共轭满足 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $。
• 构造算子 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $，并证明其为极大单调算子。
• 将菲茨帕特里克函数 $ \varphi_T $ 用作 $ T $ 的最小凸表示，并证明 $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $。
• 应用严格布龙斯特德-罗卡拉尔性质：对任意 $ \eta > \varepsilon > 0 $，若 $ x^* \in T^\varepsilon(x) $，则存在一个逼近 $ (x,x^*) $ 在 $ T $ 中的序列，且误差受控。
• 利用下半连续性与收敛性论证，证明 $ (z,z^*) \in T $，从而证明闭性与极大性。
• 利用 $ h $ 的凸闭包保持其共轭与控制性质，从而在某些结果中可去除下半连续性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自反巴拿赫空间中，条件 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 且 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ 是否足以保证极大单调性？
• RQ2 在非自反空间中，极大单调算子的菲茨帕特里克函数是否满足对所有 $ x^{**} \in X^{**} $ 有 $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $？
• RQ3 在非自反空间中，布龙斯特德-罗卡拉尔性质能否被强化，以允许用 $ T $ 图中的元素逼近 $ \varepsilon $-放大？
• RQ4 在广义条件 (4) 下，算子 $ T = \{(x,x^*) \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ 是否为极大单调算子？
• RQ5 此类算子的菲茨帕特里克函数的共轭是否在 $ X^* \times X^{**} $ 上控制对偶积？

主要发现

• 若 $ h $ 为真、凸、下半连续，且对所有 $ x^{**} \in X^{**} $ 满足 $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ 与 $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $，则算子 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ 为极大单调算子。
• 此类 $ T $ 的菲茨帕特里克函数 $ \varphi_T $ 满足对所有 $ x^{**} \in X^{**} $ 有 $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $，将对偶积控制关系扩展至双对偶空间。
• 极大单调算子 $ T $ 满足严格布龙斯特德-罗卡拉尔性质：对任意 $ \eta > \varepsilon > 0 $，若 $ x^* \in T^\varepsilon(x) $，则对任意 $ \lambda > 0 $，存在 $ (\bar{x}_\lambda, \bar{x}^*_\lambda) \in T $，使得 $ \|x - \bar{x}_\lambda\| < \lambda $ 且 $ \|x^* - \bar{x}^*_\lambda\| < \eta / \lambda $。
• 即使 $ h $ 不具下半连续性，结论依然成立，因为 $ h $ 的凸闭包保持其共轭与控制性质。
• 证明依赖于构造一个满足 $ (u_k, u_k^*) \to 0 $ 且 $ \langle u_k, u_k^* \rangle \to 0 $ 的序列，并利用 $ h $ 的下半连续性推出 $ (z,z^*) \in T $，从而证明闭性与极大性。
• 满足广义条件 (4) 的函数类完全刻画了非自反巴拿赫空间中的极大单调算子，将自反情形下的已知刻画结果推广至更广范围。