[论文解读] Brown representability in $\A^1$-homotopy theory

Niko Naumann, Markus Spitzweck|ArXiv.org|Sep 10, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文在 $S$ 为诺特诺戴安 scheme 且具有可数个有限型光滑 $S$-概形时，建立了稳定 $Å^1$-同伦范畴 $\mathrm{SH}(S)$ 的布朗表示性。通过证明在此条件下 $\mathrm{SH}(S)$ 中紧致对象的范畴是可数的，作者们提供了基础性结果，使得 $Å^1$-同伦理论中的上同调理论可被表示。

ABSTRACT

We prove the following result of V. Voevodsky. If $S$ is a finite dimensional noetherian scheme such that $S=\cup_α\Spec(R_α)$ for {\em countable} rings $R_α$, then the stable motivic homotopy category over $S$ satisfies Brown representability.

研究动机与目标

• 在 $S$ 为有限克鲁尔维数的诺特概形时，建立稳定 $Å^1$-同伦范畴 $\mathrm{SH}(S)$ 的布朗表示性。
• 在 $Sm/S$（即有限型光滑 $S$-概形的范畴）可数的条件下，证明紧致对象的全子范畴 $\mathrm{SH}(S)^c$ 是可数的。
• 利用不稳定有限性结果，证明维沃多斯基本未发表结果在 $Å^1$-同伦理论中的布朗表示性。
• 为在 $\mathrm{SH}(S)$ 中通过布朗表示性的完整强度构造新的动机谱奠定基础。

提出的方法

• 通过对象逐点射影模型结构的左贝克尔局部化，构造 $S$ 上带基点的动机空间范畴的几乎有限生成且张量化的模型结构。
• 证明带基点的动机空间的同伦范畴 ${\mathrm{H}}_{\bullet}(S)$ 在此模型结构下具有受控的纤维化重置函子。
• 建立一个不稳定有限性结果：若 $Sm/S$ 可数，则对任意有限型 $(X,x)$ 和逐段可数的 $F$，同伦类集合 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$ 是可数的。
• 证明一个关键同构：${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E) \simeq \mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$，将稳定态射与不稳定态射联系起来。
• 利用 $Sm/S$ 的可数性以及 $E_n$ 的逐段可数性，证明对所有紧致 $F$ 和 ${\mathbb{P}}^1$-谱 $E$，有 $E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ 是可数的。
• 在三角范畴中应用标准论证，得出 $\mathrm{SH}(S)^c$ 是可数的，因为其由一个可数个紧致对象集合在扩张与移位下生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $S$ 为有限克鲁尔维数的诺特概形且 $Sm/S$ 可数时，稳定 $Å^1$-同伦范畴 $\mathrm{SH}(S)$ 是否具有布朗表示性？
• RQ2 在相同假设下，能否证明紧致对象的范畴 $\mathrm{SH}(S)^c$ 是可数的？
• RQ3 在何种条件下，可保证对紧致 $F$ 和 ${\mathbb{P}}^1$-谱 $E$，集合 $\mathrm{SH}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ 是可数的？
• RQ4 如何利用动机同伦理论中的不稳定有限性结果，来证明稳定范畴中的有限性？
• RQ5 纤维化重置函子在控制动机空间中同伦集的基数方面起什么作用？

主要发现

• 当 $Sm/S$ 可数时，若 $S$ 为有限克鲁尔维数的诺特概形，则稳定 $Å^1$-同伦范畴 $\mathrm{SH}(S)^c$ 是可数的。
• 对任意有限型带基点的动机空间 $(X,x)$ 和 $\Delta^{op}\mathrm{Pre}(Sm/S)_{\bullet}$ 中的逐段可数 $F$，同伦类集合 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$ 是可数的。
• 态射空间 ${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E)$ 同构于余极限 $\mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$，将稳定与不稳定同伦集联系起来。
• 对任意 ${\mathbb{P}}^1$-谱 $E$，若其 $E_n$ 逐段可数，则对所有紧致 $F \in \mathrm{SH}(S)^c$，阿贝尔群 $E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$ 是可数的。
• $\mathrm{SH}(S)^c$ 是可数的，因为其由可数集合 $\mathcal{G} = \{\Sigma^{p,q}\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}U_+ \mid U \in Sm/S, p,q \in \mathbb{Z}\}$ 在扩张与移位下生成。
• 该证明依赖于带基点的动机空间范畴中几乎有限生成模型结构下的受控纤维化重置函子，该函子确保了同伦集的可数性。