[论文解读] Brownian motion, random walks on trees, and harmonic measure on polynomial Julia sets

Nathaniel D. Emerson|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了复平面上的布朗运动与描述不连通多项式朱利亚集的组合树上随机游走之间的深刻联系。证明了布朗运动几乎必然首次击中朱利亚集的单点连通分支，并表明朱利亚集上的调和测度与具有动力系统的树上定义的组合调和测度同构，从而实现了复动力系统中连续势论的离散分析。

ABSTRACT

We consider the harmonic measure on a disconnected polynomial Julia set in terms of Brownian motion. We show that the harmonic measure of any connected component of such a Julia set is zero. Associated to the polynomial is a combinatorial model, the tree with dynamics. We define a measure on the tree, which is a combinatorial version on harmonic measure. We show that this measure is isomorphic to the harmonic measure on the Julia set. The measure induces a random walk on the tree, which is isomorphic to Brownian motion in the plane.

研究动机与目标

• 使用概率和组合工具理解不连通多项式朱利亚集上调和测度的结构。
• 利用具有动力系统的离散树建模从黎曼球面上布朗运动产生的连续调和测度。
• 证明不连通朱利亚集上布朗运动的首次击中点几乎必然为单点连通分支。
• 证明树上的组合调和测度与朱利亚集上的连续调和测度同构。
• 提供一个离散框架，通过树上的随机游走计算和分析调和测度。

提出的方法

• 利用格林函数和共形环状区域，从具有不连通朱利亚集的多项式构造一个规范的动力树。
• 通过按映射的次数将质量从每个顶点分配给其原像，定义树上的组合调和测度。
• 利用树的结构建模多项式及其相关势论测度的动力学。
• 通过一个连续、可测且保持测度的映射，建立朱利亚集上调和测度与树上组合测度之间的同构。
• 定义一种最近邻随机游走于树上，其转移概率由组合调和测度导出，以模拟布朗运动。
• 利用树上的自避免随机游走来建模布朗路径的击中分布，从而将离散随机过程与连续调和测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 布朗运动在黎曼球面上是否几乎必然首次击中不连通多项式朱利亚集的单点连通分支？
• RQ2 不连通朱利亚集上的调和测度能否由具有动力系统的树上的组合测度建模？
• RQ3 调和测度相对于格林函数等势线的衰减速率是多少？
• RQ4 树上的随机游走如何模拟复平面上布朗运动的行为？
• RQ5 树上的组合调和测度是否与朱利亚集上的连续调和测度同构？

主要发现

• 布朗运动几乎必然首次击中不连通多项式朱利亚集的单点连通分支，意味着岛屿型连通分支的调和测度为零。
• 朱利亚集上的调和测度相对于格林函数等势线呈指数衰减，如定理3.3所示。
• 具有动力系统的树上的组合调和测度与朱利亚集上的连续调和测度同构，如定理B所证明。
• 由于指数衰减，任何不连通多项式朱利亚集连通分支的调和测度均为零。
• 一种基于前像测度成比例的转移概率定义的树上随机游走，可模拟布朗运动的击中分布。
• 树与朱利亚集之间的同构关系使得可以使用离散势论来计算和分析连续朱利亚集上的调和测度。