[论文解读] Brownian Web and Oriented Percolation: Density Bounds

Anish Sarkar, Rongfeng Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过避免依赖FKG不等式，提出了一种新的布朗运动流收敛准则，利用对偶密度界实现，提供了比以往方法更稳健的替代方案。研究证明，在扩散标度下，超临界定向渗滤中右端无限开路径的空间密度衰减率为 $\frac{2+o(1)}{\sigma\sqrt{\pi t}}$，确认了精确的渐近衰减速率。

ABSTRACT

In a recent work, we proved that under diffusive scaling, the collection of rightmost infinite open paths in a supercritical oriented percolation configuration on the space-time lattice Z^2 converges in distribution to the Brownian web. In that proof, the FKG inequality played an important role in establishing a density bound, which is a part of the convergence criterion for the Brownian web formulated by Fontes et al (2004). In this note, we illustrate how an alternative convergence criterion formulated by Newman et al (2005) can be verified in this case, which involves a dual density bound that can be established without using the FKG inequality. This alternative approach is in some sense more robust. We will also show that the spatial density of the collection of rightmost infinite open paths starting at time 0 decays asymptotically in time as c/\sqrt{t} for some c>0.

研究动机与目标

• 提供一种不依赖FKG不等式的布朗运动流收敛准则，以增强鲁棒性。
• 为超临界定向渗滤中右端无限开路径集合建立对偶密度界。
• 推导这些路径随时间演化的空间密度的精确渐近衰减速率。
• 通过基于负相关性和模糊收敛的新方法，验证标度路径集合弱收敛于布朗运动流。

提出的方法

• 采用 Newman 等人 [NRS05] 提出的替代收敛准则，该准则依赖于对偶密度界而非 FKG 不等式。
• 对 $\mathbb{Z}^2_{\text{even}}$ 上定向渗滤中的右端无限开路径集合 $\Gamma$ 应用扩散标度 $S_\epsilon$。
• 引入随机集合 $\mathcal{R}_0(n)$，表示从时间 0 开始在时间 $n$ 处于右端的路径，以避免路径依赖中的未来依赖问题。
• 利用 Reimer 不等式建立事件 $\{i \in \mathcal{R}_0(n)\}$ 与 $\{j \in \mathcal{R}_0(n)\}$（当 $i < j$ 时）之间的负相关性，从而实现紧致性与弱收敛。
• 通过随机计数测度的模糊收敛，强化标度路径集弱收敛于布朗运动流的结果。
• 应用 Fatou 引理与平移不变性，推导路径存在概率的上下界，最终得出渐近密度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 FKG 不等式的情况下，建立定向渗滤中右端无限路径收敛于布朗运动流的结论？
• RQ2 超临界定向渗滤中右端无限开路径的空间密度的精确渐近衰减速率是什么？
• RQ3 在缺乏基于 FKG 的估计时，如何构建并验证对偶密度界？
• RQ4 能否通过负相关性和模糊收敛，加强标度路径集合弱收敛于布朗运动流的结论？

主要发现

• 对偶密度界可在不依赖 FKG 不等式的情况下建立，为 Fontes 等人 [FINR04] 提出的收敛准则提供了更稳健的替代方案。
• 从时间 0 开始的右端无限开路径的空间密度在 $t$ 较大时渐近衰减为 $\frac{2+o(1)}{\sigma\sqrt{\pi t}}$。
• 标度路径集 $S_{1/\sqrt{n}}\Gamma_0$ 弱收敛于标准布朗运动流 $\mathcal{W}_0$，且在时间 1 处的标度路径集收敛于模糊拓扑。
• $\frac{\sigma\sqrt{n}}{2}\mathbb{P}(\Gamma_0(n) \cap \{0,1\} \neq \emptyset)$ 在 $n \to \infty$ 时的极限下界为 $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，与布朗运动流的强度一致。
• 使用 $\mathcal{R}_0(n)$ 而非 $\Gamma_0(n)$ 可因边集的不相交依赖关系而应用 Reimer 不等式，而 $\Gamma_0(n)$ 由于未来依赖关系无法实现此操作。
• 在模糊拓扑下，$S_{1/\sqrt{n}}\mathcal{R}_0$ 作为随机计数测度收敛于 $\mathcal{W}_0$，从而得出精确的渐近密度结果。