[论文解读] Bruckner--Garg-type results with respect to Haar null sets in $C[0,1]$

Richárd Balka, Udayan B. Darji+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Nov 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文在流行性（Haar null）测度论框架下，研究了 [0,1] 上连续函数的水平集的拓扑结构。研究发现，满足 Bruckner–Garg 定理（其水平集为 Cantor 集、单点集或其组合的可数并）的函数集合既非稀疏也非流行，即为 Haar 混合的，揭示了 Baire 范畴与流行性在刻画典型连续函数时的根本差异。

ABSTRACT

A set $\mathcal{A}\subset C[0,1]$ is \emph{shy} or \emph{Haar null } (in the sense of Christensen) if there exists a Borel set $\mathcal{B}\subset C[0,1]$ and a Borel probability measure $μ$ on $C[0,1]$ such that $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$ and $μ\left(\mathcal{B}+f ight) = 0$ for all $f \in C[0,1]$. The complement of a shy set is called a \emph{prevalent} set. We say that a set is \emph{Haar ambivalent} if it is neither shy nor prevalent. The main goal of the paper is to answer the following question: What can we say about the topological properties of the level sets of the prevalent/non-shy many $f\in C[0,1]$? The classical Bruckner--Garg Theorem characterizes the level sets of the generic (in the sense of Baire category) $f\in C[0,1]$ from the topological point of view. We prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which the same characterization holds form a Haar ambivalent set. In an earlier paper we proved that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the Lebesgue measure $λ$ are singletons form a non-shy set in $C[0,1]$. The above result yields that this set is actually Haar ambivalent. Now we prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the occupation measure $λ\circ f^{-1}$ are not perfect form a Haar ambivalent set in $C[0,1]$. We show that for the prevalent $f\in C[0,1]$ for the generic $y\in f([0,1])$ the level set $f^{-1}(y)$ is perfect. Finally, we answer a question of Darji and White by showing that the set of functions $f \in C[0,1]$ for which there exists a perfect $P_f\subset [0,1]$ such that $f'(x) = \infty$ for all $x \in P_f$ is Haar ambivalent.

研究动机与目标

• 确定 C[0,1] 中满足 Bruckner–Garg 定理拓扑特征的水平集之函数的流行性状态。
• 比较在 Baire 范畴（通用性）与流行性（测度论意义上的典型性）下水平集的拓扑性质。
• 研究具有特定水平集结构的函数集合（如具有非完备纤维或在完备集上具有无穷导数的函数）是否为稀疏、流行或 Haar 混合。
• 解决 Darji 和 White 提出的关于 [0,1] 中在完备集上具有无穷导数的函数的流行性问题。

提出的方法

• 在 C[0,1] 的完备群结构（赋予上确界范数）下，采用 Christensen 定义的 Haar 零（稀疏）与流行集合概念。
• 应用测度论工具：构造博雷尔概率测度 μ 和博雷尔集 B，使得对所有 f ∈ C[0,1] 有 μ(B + f) = 0，从而定义稀疏集。
• 使用占据测度 λ∘f⁻¹ 分析水平集，而非勒贝格测度，以研究 f 值的分布。
• 应用随机过程（如布朗运动）与泛函分析的结果，构造具有特定水平集行为的函数。
• 通过递归构造嵌套区间 In,σ 及其长度 ln，定义连续函数 g，使得 g′(x) = ∞ 在完备集 P 上成立。
• 应用 Dougherty 关于从 Cantor 集到 R^d 的流行映射的纤维结果，推断出通用纤维的势为连续统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 C[0,1] 中，满足 Bruckner–Garg 定理（水平集结构意义下）的函数集合是流行、稀疏还是 Haar 混合？
• RQ2 对于存在正勒贝格测度的 y ∈ R 使得 f⁻¹(y) 为单点集的函数集合，其流行性状态如何？
• RQ3 对于存在正占据测度 λ∘f⁻¹ 的 y ∈ R 使得 f⁻¹(y) 不是完备集的函数集合，其流行性状态如何？
• RQ4 在 [0,1] 中，存在完备集 P_f ⊂ [0,1] 使得对所有 x ∈ P_f 有 f′(x) = ∞ 的函数集合是流行、稀疏还是 Haar 混合？
• RQ5 对于紧致度量空间 K（无孤立点）上的流行函数 f ∈ C(K, R^d)，其纤维结构与通用情形相比如何？

主要发现

• 满足 Bruckner–Garg 定理的函数集合 f ∈ C[0,1] 是 Haar 混合的，即既非稀疏也非流行。
• 对于存在正勒贝格测度的 y ∈ R 使得 f⁻¹(y) 为单点集的函数集合 f ∈ C[0,1] 是 Haar 混合的。
• 对于存在正占据测度 λ∘f⁻¹ 的 y ∈ R 使得 f⁻¹(y) 不是完备集的函数集合 f ∈ C[0,1] 是 Haar 混合的。
• 对于流行的 f ∈ C[0,1]，几乎所有 y ∈ f([0,1]) 的水平集 f⁻¹(y) 是完备集。
• 存在完备集 P_f ⊂ [0,1] 使得对所有 x ∈ P_f 有 f′(x) = ∞ 的函数集合 f ∈ C[0,1] 是 Haar 混合的。
• 对于流行的 f ∈ C(K, R^d)（K 为无孤立点的紧致度量空间），存在非空开集 U_f ⊂ R^d，使得对所有 y ∈ U_f，f⁻¹(y) 的势为 2^ℵ₀。