[论文解读] BSDE, Path-dependent PDE and Nonlinear Feynman-Kac Formula

Shigē Péng, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文通过引入一类新的路径相关非线性偏微分方程（PDE），建立了非马尔可夫后向随机微分方程（BSDE）的非线性费曼-卡公式。证明了此类BSDE的解与路径相关PDE的唯一$ C^{1,2} $-光滑解之间存在一一对应关系，方法基于杜普雷的功能 Itô 微积分，并将经典的非线性费曼-卡理论推广至非马尔可夫设定。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a type of path-dependent quasilinear (parabolic) partial differential equations in which the (continuous) paths on an interval [0,t] becomes the basic variables in the place of classical variables (t,x). This new type of PDE are formulated through a classical backward stochastic differential equation (BSDEs, for short) in which the terminal values and the generators are allowed to be general functions of Brownian paths. In this way we have established a new type of nonlinear Feynman-Kac formula for a general non-Markovian BSDE. Some main properties of regularities for this new PDE was obtained.

研究动机与目标

• 将经典非线性费曼-卡公式扩展至终端条件和生成器依赖于整个布朗运动路径而非仅当前状态的非马尔可夫设定。
• 定义并分析一类新的路径相关拟线性 PDE，其中状态变量为连续路径$ \omega_t \in C([0,t], \mathbb{R}^d) $，而非$ (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^d $。
• 在系数满足光滑性假设的前提下，建立路径相关 BSDE 解与路径相关 PDE 的$ C^{1,2} $-光滑解之间的一一对应关系。
• 利用杜普雷的水平导数与垂直导数，证明路径相关 BSDE 解的正则性结果。

提出的方法

• 构建一个路径相关 BSDE，其中终端条件$ Y(T) = \Phi(\omega(s)_{0\leq s\leq T}) $与生成器$ f(t, \omega(s)_{0\leq s\leq t}, y, z) $为布朗运动路径的泛函。
• 利用杜普雷的功能 Itô 微积分引入路径相关 PDE，定义水平导数$ D_t u $、垂直导数$ D_x u $与二阶垂直导数$ D_{xx} u $。
• 将解$ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $定义为时间$ t $之前路径的泛函，并在假设 (H1) 与 (H2) 下证明其为$ C^{1,2} $-光滑。
• 对过程$ u(t, B_t^\gamma) $应用功能 Itô 公式，将增量$ u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t) $分解为时间、扩散与漂移分量。
• 通过逼近序列$ u^{(n)} $的收敛性论证与估计，取极限并导出路径相关 PDE：$ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $。
• 通过展示解满足 PDE 并借助迭代逼近与极限过程从系数继承光滑性，建立唯一性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典非线性费曼-卡公式能否推广至终端条件与生成器依赖于整个布朗运动路径而非仅当前状态的 BSDE？
• RQ2 路径相关 BSDE 的正确 PDE 表述为何？需要何种导数（水平、垂直）来描述其解？
• RQ3 在路径相关系数满足何种光滑性条件下，路径相关 BSDE 的解可表示为路径的$ C^{1,2} $-光滑泛函？
• RQ4 功能 Itô 微积分如何用于推导并验证一般路径相关 BSDE 解所满足的路径相关 PDE？
• RQ5 在杜普雷功能导数的意义下，路径相关 BSDE 的解与路径相关 PDE 的解之间是否存在一一对应关系？

主要发现

• 路径相关 BSDE 的解$ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $是路径相关 PDE 的唯一$ C^{1,2} $-解：$ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $，终端条件为$ u(T, \omega_T) = \Phi(\omega_T) $。
• BSDE 中的过程$ Z(t) $恰好对应于垂直导数$ D_x u(t, \omega_t) $，从而建立了控制过程的功能导数解释。
• 在假设 (H1) 与 (H2) 下，证明了解$ u $为$ C^{1,2} $-光滑，该假设要求终端泛函$ \Phi $与生成器$ f $在路径与状态变量上足够光滑。
• 证明使用逼近序列$ u^{(n)} $的极限论证，表明差值$ u^{(n)}(\gamma_{t,t+\delta}) - u^{(n)}(B_{t+\delta}^\gamma) $收敛至正确的功能 Itô 展开。
• 推导出关键恒等式$ \lim_{\delta \to 0} \frac{u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t)}{\delta} = -\frac{1}{2} D_{xx} u(\gamma_t) - f(\gamma_t, u(\gamma_t), D_x u(\gamma_t)) $，从而在功能意义下确认 PDE 成立。
• 在马尔可夫情形下，当$ \Phi(\omega) = \varphi(\omega(T)) $且$ f $为马尔可夫性时，结果退化为帕鲁多与彭（1992）的经典非线性费曼-卡公式。