[论文解读] BSDEs driven by a multi-dimensional martingale and their applications to market models with funding costs

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文建立了由具有可预测表示性质的多维连续鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDEs）的适定性及一种新颖的比较定理。关键贡献是一项广义比较定理，该定理使得在包含融资成本和抵押品的金融模型中，能够推导出单边与双边价格的存在性、唯一性以及无套利边界。

ABSTRACT

We establish some well-posedness and comparison results for BSDEs driven by one- and multi-dimensional martingales. On the one hand, our approach is largely motivated by results and methods developed in Carbone et al. (2008) and El Karoui and Huang (1997). On the other hand, our results are also motivated by the recent developments in arbitrage pricing theory under funding costs and collateralization. A new version of the comparison theorem for BSDEs driven by a multi-dimensional martingale is established and applied to the pricing and hedging BSDEs studied in Bielecki and Rutkowski (2014) and Nie and Rutkowski (2014). This allows us to obtain the existence and uniqueness results for unilateral prices and to demonstrate the existence of no-arbitrage bounds for a collateralized contract when both agents have non-negative initial endowments.

研究动机与目标

• 将现有BSDE比较定理扩展至具有可预测表示性质的多维连续鞅。
• 放宽先前研究中对Doléans-Doleans指数所要求的严格可积性和正性条件，特别是Carbone等人（2013）和El Karoui与Huang（1997）的工作。
• 为包含融资成本和抵押交易的金融市场的衍生品定价与对冲提供理论基础。
• 展示新比较定理在涉及双边对手方风险和融资利差的实际市场模型中的适用性。
• 建立公平双边价格非空区间的存在性，以及价格关于初始头寸的单调性。

提出的方法

• 在生成器满足m-利普希茨条件的假设下，推导由多维连续鞅驱动的BSDE的存在性、唯一性和稳定性结果。
• 提出一个新的比较定理（定理3.3），适用于具有统一m-利普希茨生成器的BSDE，其适用条件弱于以往研究。
• 通过假设4.1和4.2分析二次变差过程⟨M⟩的替代假设，以扩大适用范围。
• 将比较定理应用于来自融资成本市场模型的BSDE，特别是Bielecki与Rutkowski（2013）以及Nie与Rutkowski（2014）的模型。
• 将原始BSDE转化为具有相同终端条件和漂移项的等价形式，以利用新定理实现直接比较。
• 利用变换后的BSDE证明解之间的不等式，从而建立单边价格的边界以及关于初始头寸的价格单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在弱于Carbone等人（2013）和El Karoui与Huang（1997）所用假设的条件下，建立由多维连续鞅驱动的BSDE的比较定理？
• RQ2 如何应用比较定理推导出包含融资成本的抵押合约中双边价格的无套利边界？
• RQ3 在融资成本模型中，衍生品价格在何种条件下随交易员初始头寸的增加而上升？
• RQ4 在存在非对称融资成本和抵押品的模型中，能否严格证明公平双边价格非空区间的存在性？
• RQ5 何种条件可确保融资成本模型中BSDE的生成器满足新比较定理的要求？

主要发现

• 在生成器满足m-利普希茨条件的假设下，为具有可预测表示性质的多维连续鞅驱动的BSDE，建立了新的比较定理（定理3.3）。
• 将比较定理应用于证明：初始头寸为正的BSDE解支配初始头寸较小的解，从而表明价格关于初始财富具有单调性。
• 对于双方初始头寸均非负的抵押合约，建立了公平双边价格非空区间的存在性。
• 验证了比较定理的假设在融资成本模型中出现的一类BSDE中成立，特别是涉及抵押交易和非对称融资利差的模型。
• 不等式 $-\widetilde{f}_l(t, y + x_1, z) \geq \widetilde{f}_l(t, -y + x_2, -z)$ 几乎处处成立（关于 $\widetilde{\mathbb{P}}^l \otimes \ell$），这确保了比较结果的有效性。
• 关键不等式（5.13）的证明依赖于 $r^l_t \leq r^b_t$ 以及恒等式 $\delta = \sum_{i=1}^d (r^l_t - r^{i,b}_t)|\widetilde{z}^i_t| \leq 0$，从而确认了所需的生成器条件。