[论文解读] BSDEs driven by $|z|^2/y$ and applications to PDEs and decision theory

Khaled Bahlali, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

本文建立了带奇异生成器 $\pm|z|^2/y$ 的倒向随机微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性，使奇异PDE的概率解及决策理论模型成为可能。关键贡献是一种新颖的概率方法，将经典BSDE理论扩展至处理价值过程中的奇异性，特别适用于含 $|\nabla v|^2/v$ 项的PDE的粘性解以及金融中的非马尔可夫随机折现效用模型。

ABSTRACT

Existence and uniqueness is established for a large class of backward stochastic differential equations which contain singular terms of the form $\\pm|z|^2/y$. The results are applied to investigate singular partial differential equations (PDEs) and to decision theory problems that cannot be studied using classical regular BSDEs. The application to PDEs concerns the existence of viscosity solutions to PDEs containing a singular term of the form $\\pm|\ abla v|^2/v$ with rather weak assumptions on the regularity of the coefficients. Such PDEs with singularity in the value process appear in several applications in physics and economics. Regarding the application to decision theory, on the one hand, we use singular BSDEs to solve portfolio optimization problems with logarithm and power utility and non-trivial terminal endowment. Moreover, we derive existence and uniqueness of the general version of the non-Markovian Kreps-Porteus stochastic differential utility defined by Duffie and Lions [17] and constructed, in the Markovian case using PDE arguments by Duffie and Lions [19].

研究动机与目标

• 开发一个求解具有奇异生成器 $\pm|z|^2/y$ 的倒向随机微分方程（BSDEs）的概率框架，其中当 $y \to 0$ 时出现奇异性。
• 将经典BSDE理论扩展至处理生成器非利普希茨或无界的情形，特别适用于奇异PDE和决策理论中的应用。
• 在系数弱正则性假设下，为含奇异项 $\pm|\nabla v|^2/v$ 的抛物型PDE提供粘性解的概率表示。
• 解决具有对数与幂函数效用函数及非平凡终端财富的组合优化问题，这些问题是经典二次BSDE无法求解的。
• 建立一般非马尔可夫克雷普斯-波蒂厄斯随机折现效用的存在性与唯一性，此前仅通过PDE方法在马尔可夫情形下已知。

提出的方法

• 作者引入测度变换与时间变换技术，将奇异BSDE转化为正规形式，从而可应用标准BSDE的存在性与唯一性结果。
• 采用控制条件与$(D)$类性质，以控制解在零附近的性质，特别是针对 $Y_t$ 和 $1/Y_t$。
• 该方法依赖于先验估计与一致可积性论证，证明逼近序列的收敛性，尤其在终端条件 $\xi$ 的弱可积性条件下。
• 该方法利用PDE解的概率表示，将BSDE解与关联PDE的粘性解联系起来。
• 分析中结合路径唯一性与弱收敛技术，以建立极限过程的依分布收敛与路径处处不可区分性。
• 该框架被应用于带反射与局部时的SDE，利用斯科罗霍德表示与紧致性论证，在弱条件下证明解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在终端条件 $\xi$ 的弱可积性条件下，能否为具有奇异生成器 $H(y,z) = \pm|z|^2/y$ 的BSDE建立存在性与唯一性？
• RQ2 此类BSDE能否为含奇异项 $\pm|\nabla v|^2/v$ 的PDE的粘性解提供概率表示？
• RQ3 该框架能否解决具有对数或幂函数效用及非零终端财富的组合优化问题，而这些问题是经典二次BSDE无法求解的？
• RQ4 能否通过概率BSDE方法构造一般非马尔可夫克雷普斯-波蒂厄斯随机折现效用？
• RQ5 在何种最小正则性条件下，仍能保证此类奇异BSDE解的存在性与唯一性？

主要发现

• 当终端条件 $\xi > 0$ 几乎必然且 $\mathbb{E}[|\xi|^3] < \infty$ 时，BSDE $Y_t = \xi + \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ 存在唯一解，满足 $\mathbb{E}[\sup_t |Y_t|^2] + \mathbb{E}[\int_0^T |Z_t|^2 dt] < \infty$，且在满足 $Y^3$ 属于$(D)$类的解中唯一。
• 当 $\xi < 0$ 几乎必然且 $\mathbb{E}[1/|\xi|] < \infty$ 时，BSDE $Y_t = \xi - \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ 存在解，且在满足 $1/Y$ 属于$(D)$类的解中唯一；若 $\xi \in L^2$，则解在 $\mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}^2$ 意义下唯一。
• 该方法为在弱正则性假设下具有形式 $\partial_t v + \frac{1}{2}\Delta v + \delta \frac{|\nabla v|^2}{v} = 0$ 且 $v(T,x) = h(x)$ 的PDE提供了粘性解的概率表示。
• 该框架使具有对数与幂函数效用函数及非平凡终端财富的组合优化问题得以求解，而这些问题是经典BSDE中使用 $|z|^2$ 生成器无法求解的。
• 本文建立了非马尔可夫克雷普斯-波蒂厄斯随机折现效用的一般存在性与唯一性，将此前达菲与利昂内斯基于PDE的方法扩展至非马尔可夫情形。
• 逼近序列的收敛性通过紧致性、斯科罗霍德表示与路径唯一性证明，确保了依分布收敛与极限的路径处处不可区分性。