[论文解读] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to pricing and utilities

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 2

一句话总结

本文引入了具有移动平均型时间延迟生成器的倒向随机微分方程（BSDEs），其中生成器依赖于解过程与控制过程的过去值的时间平均。论文推导出显式解，并展示了其在建模非单调偏好中的应用，特别是动态金融决策中的失望厌恶与波动率厌恶。

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

研究动机与目标

• 通过引入依赖于解与控制过程过去值移动平均的时间延迟生成器，扩展经典BSDEs。
• 在生成器为线性假设下，推导这些时间延迟BSDEs的显式解。
• 为这类方程在建模行为金融现象（如失望效应与波动率厌恶）方面提供经济合理性解释。
• 研究这些延迟BSDEs解的结构与动态特性。
• 展示该模型在非标准投资者偏好下的定价与效用评估中的相关性。

提出的方法

• 构建一个时间延迟BSDE，其中生成器依赖于时间平均过程 $ \frac{1}{t}\int_0^t Y(s)ds $ 与 $ \frac{1}{t}\int_0^t Z(s)ds $。
• 应用随机分析与线性SDE理论的技术，推导该系统的闭式解。
• 利用生成器的线性性质，将问题简化为求解一组确定性时滞微分方程。
• 引入一种变换以解耦时间平均分量，并分析所得系统。
• 运用伊腾公式与鞅表示定理验证解的结构。
• 在适当的可积性与正则性条件下，建立解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典BSDEs扩展以纳入基于过去过程移动平均的时间延迟生成器？
• RQ2 具有此类时间延迟、线性生成器的BSDEs的显式解形式是什么？
• RQ3 在何种经济情境下，移动平均型时间延迟生成器会自然出现？
• RQ4 这些模型如何捕捉非单调投资者偏好（如失望厌恶）？
• RQ5 在该框架中，过去波动率暴露对当前效用与定价决策有何影响？

主要发现

• 本文推导出依赖于 $ Y(t) $ 与 $ Z(t) $ 移动平均的时间延迟生成器的BSDEs的显式闭式解。
• 解由一组在线性假设下可解析求解的确定性时滞微分方程系统表征。
• 该模型捕捉了当前收益相对于过去平均预期的失望效应。
• 通过基于过去波动率风险暴露来惩罚当前收益，该框架纳入了波动率厌恶。
• 时间延迟结构导致解具有路径依赖性与记忆效应，使其与经典马尔可夫型BSDEs相区别。
• 结果为连续时间金融中非单调偏好的动态建模提供了严谨的随机基础。