[论文解读] BSDEs with weak reflections and partial hedging of American options

Roxana Dumitrescu, Romuald Élie+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了具有弱反射的倒向随机微分方程，其中解在所有停时上满足概率约束。该文建立了适定性，为下反射的g-次 martingale 推导出非线性 Mertens 型分解，并表明最小上解可表示为具有鞍点的随机控制/最优停时博弈，从而为美式期权的近似对冲提供了一个新框架。

ABSTRACT

We introduce a new class of \ extit{Backward Stochastic Differential Equations with weak reflections} whose solution $(Y,Z)$ satisfies the weak constraint $\ extbf{E}[\\Psi(\ heta,Y_\ heta)] \\geq m,$ for all stopping time $\ heta$ taking values between $0$ and a terminal time $T$, where $\\Psi$ is a random non-decreasing map and $m$ a given threshold. We study the wellposedness of such equations and show that the family of minimal time $t$-values $Y_t$ can be aggregated by a right-continuous process. We give a nonlinear Mertens type decomposition for lower reflected $g$-submartingales, which to the best of our knowledge, represents a new result in the literature. Using this decomposition, we obtain a representation of the minimal time $t$-values process. We also show that the minimal supersolution of a such equation can be written as a \ extit{stochastic control/optimal stopping game}, which is shown to admit, under appropriate assumptions, a value and saddle points. From a financial point of view, this problem is related to the approximative hedging for American options.

研究动机与目标

• 开发一类具有所有停时上弱反射约束的新型倒向随机微分方程。
• 建立最小时间 t 值过程的适定性与路径正则性（右连续性）。
• 为下反射的 g-次 martingale 推导出非线性 Mertens 型分解，这是文献中的新结果。
• 将最小上解表示为随机控制/最优停时博弈，并在适当条件下证明值与鞍点的存在性。
• 将该框架应用于金融市场上美式期权近似对冲问题。

提出的方法

• 通过约束 E[Ψ(θ, Yθ)] ≥ m 对所有停时 θ ∈ [0, T]，形式化一类具有弱反射的新型 BSDE。
• 引入下反射 g-次 martingale 的概念，并在弱反射下推导出非线性 Mertens 型分解。
• 通过随机控制/最优停时博弈的构造方法，构建最小上解。
• 证明最小上解可聚合为右连续过程。
• 在生成器与过滤族满足适当假设下，建立博弈的值与鞍点的存在性。
• 利用分解与博弈表示，将解与美式期权的最小超对冲成本联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使具有所有停时上弱反射约束的新型 BSDE 适定化，并产生正则的解过程？
• RQ2 在弱反射下，下反射 g-次 martingale 是否存在非线性 Mertens 型分解？
• RQ3 此类 BSDE 的最小上解能否表示为具有值与鞍点的随机控制/最优停时博弈？
• RQ4 弱反射 BSDE 的解与美式期权的最小超对冲成本之间有何关联？
• RQ5 在弱反射下，最小时间 t 值如何聚合为右连续过程？

主要发现

• 最小时间 t 值族 Yt 可聚合为右连续过程，确保了解过程的路径正则性。
• 为下反射 g-次 martingale 建立了新颖的非线性 Mertens 型分解，代表了重要的理论进展。
• 在适当假设下，弱反射 BSDE 的最小上解可表示为具有值与鞍点的随机控制/最优停时博弈。
• 解过程为美式期权的最小超对冲成本提供了表示，为近似对冲提供了一种新方法。
• 该框架通过在所有停时上引入弱约束，扩展了反射 BSDE 理论，拓宽了其在最优停时与对冲问题中的适用性。
• 结果为通过弱反射 BSDE 实现美式期权动态对冲，建立了严格的概率论基础，且无需依赖 PDE 方法。