[论文解读] BSVIEs with stochastic Lipschitz coefficients and applications in finance

Tianxiao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了随机Lipschitz系数下倒向随机Volterra积分方程（BSVIEs）的M-解的存在性与唯一性，扩展了以往要求确定性利率的成果。该框架被应用于构建允许随机利率的连续时间动态一致风险度量，从而在金融领域实现更广义的时间不一致偏好建模，并提供了比早期工作更简洁的证明。

ABSTRACT

This paper is concerned with existence and uniqueness of M-solutions of backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs for short), which Lipschitz coefficients are allowed to be random, which generalize the results in [15]. Then a class of continuous time dynamic dynamic coherent risk measures is derived, allowing the riskless interest rate to be random, which is different from the case in [15].

研究动机与目标

• 通过允许Lipschitz系数为随机的，扩展倒向随机Volterra积分方程（BSVIEs）的理论，推广先前要求确定性系数的研究成果。
• 建立一类新的连续时间动态一致风险度量，以容纳随机利率，从而克服早期模型中的关键局限性。
• 与现有文献相比，提供在随机Lipschitz条件下M-解唯一可解性的更简洁证明。
• 通过利用广义的BSVIE框架，证明风险度量构造在时间不一致偏好下依然有效。

提出的方法

• 在BSVIEs的生成器上引入随机Lipschitz条件，其中Lipschitz常数可为适应于滤子的随机过程。
• 定义并分析BSVIEs的M-解，确保解过程为适应过程，并满足涉及布朗运动随机积分的特定积分表示。
• 在合适的Hilbert空间框架中使用不动点论证，证明在随机Lipschitz条件下M-解的存在性与唯一性。
• 通过BSVIE的M-解导出动态一致风险度量，引入随机利率函数，并满足关于随机贴现的平移不变性。
• 利用BSVIE的结构，建模在广义意义上时间一致的风险度量，即使偏好本身是时间不一致的。
• 分析Lipschitz函数为确定性或路径相关（例如涉及Wiener过程）的特殊情况，表明风险度量何时依赖于初始财富，何时不依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Lipschitz系数为随机而非确定性时，能否建立BSVIEs的M-解的存在性与唯一性？
• RQ2 当无风险利率为随机时，如何在连续时间中构建动态一致风险度量？
• RQ3 所提出的框架是否在随机系数下仍保持一致风险度量的关键性质——平移不变性、正齐次性与次可加性？
• RQ4 在何种情况下风险度量依赖于初始财富，而在何种情况下与基础财富过程无关？
• RQ5 与先前方法（如Yong, 2007）相比，唯一可解性的证明能否显著缩短？

主要发现

• 本文证明了在随机Lipschitz条件下，BSVIEs的M-解存在且唯一，其中Lipschitz常数为适应于滤子的随机过程。
• 唯一可解性的证明比Yong (2007) 中的证明显著更简洁，提供了更简明的分析方法。
• 推导出一类新的连续时间动态一致风险度量，允许无风险利率为随机的，从而推广了以往要求确定性利率的模型。
• 当Lipschitz函数为确定性时，风险度量退化为已知形式，且解为确定性，恢复了先前工作的结果。
• 当Lipschitz函数依赖于Wiener过程（例如，sin(W(s))）时，风险度量变为路径相关，通常依赖于初始财富，表明风险敞口并非独立于投资组合价值。
• 分析表明，对于一般非线性生成器（例如，关于Z为二次型），风险度量结果依赖于初始财富过程，意味着风险评估在组合间并非以简单方式可加。