[论文解读] BT_INHOM -- MATLAB routines for balanced truncation model reduction for systems with nonzero initial value

Schröder, Christian, Voigt, Matthias|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的平衡截断方法 jShiftBT，用于具有非零初始条件的线性时不变系统模型降阶。通过在状态上引入一个移位变换，该方法能够联合或独立地对输入响应和初始条件响应进行降阶，并在构造简化模型之前提供可计算的先验误差界。其主要贡献是一种高效且参数优化的误差界，数值实验表明其优于现有方法。

ABSTRACT

In standard balanced truncation model order reduction, the initial condition is typically ignored in the reduction procedure and is assumed to be zero instead. However, such a reduced-order model may be a bad approximation to the full-order system, if the initial condition is not zero. In the literature there are several attempts for modified reduction methods at the price of having no error bound or only a posteriori error bounds which are often too expensive to evaluate. In this work we propose a new balancing procedure that is based on a shift transformation on the state. We first derive a joint projection reduced-order model in which the part of the system depending only on the input and the one depending only on the initial value are reduced at once and we prove an a priori error bound. With this result at hand, we derive a separate projection procedure in which the two parts are reduced separately. This gives the freedom to choose different reduction orders for the different subsystems. Moreover, we discuss how the reduced-order models can be constructed in practice. Since the error bounds are parameter-dependent we show how they can be optimized efficiently. We conclude this paper by comparing our results with the ones from the literature by a series of numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决标准平衡截断方法忽略非零初始条件的问题，后者可能导致降阶模型质量较差。
• 开发一种同时考虑输入响应和初始条件响应的模型降阶框架。
• 提供一种计算高效的先验误差界，其依赖于三个李雅普诺夫方程的解。
• 通过允许对输入和初始条件分量采用不同的降阶阶数，实现灵活的降阶。
• 通过数值实验表明，所提方法在误差范数和鲁棒性方面优于现有技术。

提出的方法

• 提出对状态进行移位变换，以将系统响应分解为依赖于输入和依赖于初始条件的两部分。
• 推导出一种联合投影降阶模型，可同时对两部分进行降阶，并确保先验误差界。
• 建立如下形式的先验误差界：$\|y - y_r\|_{\mathbb{L}_2} \leq 2(\eta_{r+1} + \cdots + \eta_n)(\|u\|_{\mathbb{L}_2} + \beta\|z_0\|_2)$，其中 $\eta_i$ 为汉克尔奇异值。
• 引入一种独立投影过程，允许对输入和初始条件分量分别采用不同的降阶阶数。
• 高效地优化参数 $\beta$ 以最小化误差界，从而在不同初始条件下实现鲁棒性能。
• 利用三个李雅普诺夫方程的解构建降阶模型，并应用平滑滤波器以提高数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种平衡截断方法，既能考虑非零初始条件，又能保持先验误差界？
• RQ2 与分别对输入响应和初始条件响应进行降阶的方法相比，联合投影方法在误差和计算成本方面表现如何？
• RQ3 能否通过调节参数 $\beta$ 高效地优化误差界，而无需进行昂贵的后验评估？
• RQ4 所提方法在 $\mathbb{L}_2$ 和 $\mathbb{L}_\infty$ 误差方面是否优于标准 BT、TrlBT、AugBT 和 BT-BT 等现有技术？
• RQ5 误差界和降阶模型对初始条件参数 $\beta$ 的变化有多鲁棒？

主要发现

• 在示例 1 中，jShiftBT 方法实现了最低的 $\mathbb{L}_2$-误差（1.1e+0）和 $\mathbb{L}_\infty$-误差（1.7e+0），优于标准 BT 及其他变体。
• 在示例 2 中，当 $\beta = 100$ 时，jShiftBT 的 $\mathbb{L}_2$-误差为 3.6e+1，显著低于标准 BT（2.3e+2）和 BT-BT（5.5e+1）。
• 先验误差界可在构建 ROM 之前计算，且依赖于参数，从而可高效优化 $\beta$ 以最小化误差。
• 联合投影方法（jShiftBT）在两个示例中均持续优于所有其他方法，尤其在最小化整体误差范数方面表现突出。
• 误差界对 $\beta$ 的变化具有鲁棒性，不同 $\beta$ 值下性能下降极小，表明其在实际应用中具有稳定性。
• 该方法的计算效率源于仅需求解三个李雅普诺夫方程，且参数优化相对廉价。