[论文解读] Budget-feasible Maximum Nash Social Welfare Allocation is Almost Envy-free

Xiaowei Wu, Bo Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了在预算约束下最大纳什社会福利（NSW）分配的公平性属性，其中每个物品具有成本，而各参与者具有个人预算。研究证明，最大NSW分配始终是 envy-freeness up to one good（EF1）的1/4近似解，且随着预算与成本比率的增加，该比率可提升至1/2，通过构造的实例展示了该界限的紧致性。

ABSTRACT

The Nash social welfare (NSW) is a well-known social welfare measurement that balances individual utilities and the overall efficiency. In the context of fair allocation of indivisible goods, it has been shown by Caragiannis et al. (EC 2016 and TEAC 2019) that an allocation maximizing the NSW is envy-free up to one good (EF1). In this paper, we are interested in the fairness of the NSW in a budget-feasible allocation problem, in which each item has a cost that will be incurred to the agent it is allocated to, and each agent has a budget constraint on the total cost of items she receives. We show that a budget-feasible allocation that maximizes the NSW achieves a 1/4-approximation of EF1 and the approximation ratio is tight. The approximation ratio improves gracefully when the items have small costs compared with the agents' budgets; it converges to 1/2 when the budget-cost ratio approaches infinity.

研究动机与目标

• 分析在参与者对物品成本有预算限制的预算可行设置中，最大纳什社会福利（NSW）分配的公平性。
• 确定在预算约束下，最大NSW分配是否仍能保持如“envy-freeness up to one good”（EF1）等公平性保障。
• 量化最大NSW分配对EF1公平性的近似比率，并研究该比率如何依赖于预算与成本的比率。
• 建立公平性近似的紧致界限，表明在最坏情况下1/4是最佳可能的近似比率。
• 探索当预算-成本比率增加时公平性如何改善，并推导出在大预算极限下向1/2-EF1平滑收敛的结论。

提出的方法

• 形式化一个预算可行的分配问题，其中每个物品具有成本，每个参与者对分配物品的总成本有预算约束。
• 定义一种适应预算约束的新公平性概念EF1：参与者i仅在无法通过从j的物品集合中移除最贵物品后，获得更高价值的子集（且该子集在i的预算范围内）时，才会对j产生嫉妒。
• 通过反证法证明最大NSW分配始终是1/4-EF1，构造一个能提升NSW的假设分配以导出矛盾。
• 通过构造一个预算-成本比为1的紧致实例，证明1/4是最佳可能的近似比率，从而证明该界限是紧致的。
• 在大预算情形下进行分析，推导出平滑的近似比率(1/2 - 5/κ^{1/4})-EF1，其中κ为最小预算-成本比。
• 使用分数物品划分技术，平衡各子集之间的成本与价值，从而支持中间分配的构造，用于比较NSW值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在引入预算约束后，最大NSW分配是否仍为EF1？
• RQ2 在预算可行设置中，最大NSW分配对EF1公平性的最佳可能近似比率是多少？
• RQ3 随着预算-成本比率的增加，公平性近似比率如何变化？
• RQ4 在任何情形下，近似比率是否可优于1/4？若可，其条件是什么？
• RQ5 当预算-成本比率趋于无穷大时，是否存在向1/2-EF1的平滑收敛？

主要发现

• 最大NSW分配始终是1/4-EF1，意味着在最坏情况下，没有任何参与者对他人嫉妒的程度超过一个物品价值的1/4。
• 1/4近似比率是紧致的，通过构造一个实例证明最大NSW恰好达到1/4-EF1，从而验证了该界限的紧致性。
• 在大预算情形下，当预算-成本比κ趋于无穷大时，近似比率收敛至1/2。
• 随着κ的增加，公平性近似性能平滑提升，其边界为(1/2 - 5/κ^{1/4})-EF1。
• 结果表明，即使在预算约束下，最大NSW仍能保持较强的公平性近似，且当预算相对于物品成本增长时，其性能持续改善。
• 本文证明了在该设定下，1/4-EF1分配始终存在且为帕累托最优，尽管精确的EF1分配可能并不总存在。