[论文解读] Buhmann covariance functions, their compact supports, and their smoothness

Emilio Porcu, P. Zastavyi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新型差分算子，可在保持 m 维欧几里得空间中正定性与紧支集的前提下，提升 Buhmann 协方差函数在原点处的光滑性。与经典 Montée 算子在低维空间中会丧失正定性不同，该算子在相同维度下仍保持正定性，为构建空间统计与数值分析中光滑且紧支集的径向基函数提供了一种更优的替代方案。

ABSTRACT

We consider the Buhmann class of compactly supported radial basis functions, whih includes a wealth of special cases that have been studied in both numerical analysis and spatial statistics literatures. In particular, the celebrated Wu, Wendland and Missing Wendland functions are notable special cases of this class. We propose a very simple difference operator and show the conditions for which the application of it to Buhmann functions preserves positive definiteness on $m$-dimensional Euclidean spaces. We also show that the application of the difference operator increases smoothness at the origin, whilst keeping positive definiteness in the same $m$-dimensional Euclidean space, as well as compact support. Thus, our operator is a competitor of the celebrated Mont{é}e operator, which allows to increase the smoothness at the origin, at the expense of losing positive definiteness in the space where the radial basis function is originally defined. The proofs of our results highlight surprising connections with past literatures on celebrated class of functions. Amongst them, absolute and completely monotone functions.

研究动机与目标

• 开发一种方法，以在保持正定性的同时，提升 Buhmann 类型紧支集径向基函数在原点处的光滑性。
• 克服经典 Montée 算子在提升光滑性时，于低维空间中牺牲正定性的局限性。
• 建立所提算子与经典完全单调函数及对数完全单调函数类之间的联系。
• 提供一个统一框架，推广已知的特殊情形，如 Wendland、Wu 和缺失 Wendland 函数。
• 刻画通过该算子在任意维度下对 Buhmann 函数可实现的精确可微阶数。

提出的方法

• 提出一种作用于参数为 $ k $、$ eta_1 $、$ eta_2 $ 和 $ u $ 的 Buhmann 函数的简单差分算子，通过特定的平移与缩放 Buhmann 函数的线性组合来定义。
• 将该算子应用于 Buhmann 函数 $ ilde{ ho}_{ u,k,eta_1,eta_2} $，得到新函数 $ f_{ u,k+1,2k+1,eta_1,eta_2} $，并证明其在 $ bR^m $ 中保持紧支集与正定性。
• 利用 Schoenberg 定理刻画正定性，即存在唯一的概率测度 $ F $，使得 $ ho(t) = bE[bOmega_m(rt)] $，其中 $ bOmega_m $ 是 $ bR^m $ 中单位球面上均匀分布随机向量的特征函数。
• 建立与完全单调函数及对数完全单调函数类的联系，尤其利用 Berg、Porcu 和 Mateu 关于辅助族 $ f_{eta, u}(x) = x^{-eta}(1+x^{ u})^{-1} $ 的结果。
• 采用拉普拉斯变换与傅里叶变换技术，分析所得函数的光滑性与正定性。
• 证明该算子可使原点处的可微阶数提高两个单位（例如，从 $ C^{2k} $ 提升至 $ C^{2k+2} $），同时在 $ bR^m $ 中保持紧支集与正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种差分算子，使 Buhmann 协方差函数在原点处的光滑性得到提升，而不会损害其紧支集或正定性？
• RQ2 与经典 Montée 算子相比，该算子在不同维度下保持正定性的性能如何？
• RQ3 在对 Buhmann 函数应用差分算子后，原点处可实现的精确可微阶数是多少？
• RQ4 所提算子与经典完全单调或对数完全单调函数类之间存在何种联系？
• RQ5 该方法能否在统一框架下推广已知的特殊情形，如 Wendland、Wu 和缺失 Wendland 函数？

主要发现

• 所提差分算子使 Buhmann 函数在原点处的光滑性提高两个可微阶数，即将 $ C^{2k} $ 函数转化为 $ C^{2k+2} $ 函数。
• 所得函数在 $ bR^m $ 上仍保持正定性，而 Montée 算子仅在 $ bR^{m-2} $ 上保持正定性，因此后者在 $ m \to \bbR^m $ 时会失去正定性。
• 该算子保持紧支集，确保所得径向基函数真正具有带状结构，适用于大规模空间预测。
• 当 $ k=0,1,2 $ 时，方法分别将可微性从 $ C^2 $、$ C^4 $ 和 $ C^6 $ 提升至 $ C^4 $、$ C^6 $ 和 $ C^8 $，如表 1 所示。
• 该构造具有一般性，可包含著名的特殊情形，如 Wendland、Wu 和缺失 Wendland 函数作为特例。
• 证明揭示了与完全单调函数及对数完全单调函数理论的深层联系，尤其通过辅助族 $ f_{eta, u} $，在特定参数约束下，该族属于 $ bL(0,\bbR) $。