[论文解读] Building 1D lattice models with $G$-graded fusion category

Shang-Qiang Ning, Bin-Bin Mao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 6

一句话总结

本文基于 $G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$) 构建了一类一维量子格点模型，实现了 anyon-chain 模型与二维对称保护拓扑（SPT）相边缘理论之间的插值。这些模型表现出非传统的范畴对称性，强烈约束了低能物理，数值证据表明由于异常范畴对称性，出现能隙消失的可能性极高。

ABSTRACT

We construct a family of one-dimensional (1D) quantum lattice models based on $G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$. This family realize an interpolation between the anyon-chain models and edge models of 2D symmetry-protected topological states, and can be thought of as edge models of 2D symmetry-enriched topological states. The models display a set of unconventional global symmetries that are characterized by the input category $\mathcal{C}_G$. While spontaneous symmetry breaking is also possible, our numerical evidence shows that the category symmetry constrains the the models to the extent that the low-energy physics has a large likelihood to be gapless.

研究动机与目标

• 开发一个系统性框架，用于构建由 $G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$) 描述的广义对称性的 1D 量子格点模型。
• 探索范畴对称性与 1D 系统中拓扑序之间的相互作用，特别是与二维对称 enriched 拓扑（SET）相边缘理论的关系。
• 研究异常范畴对称性如何约束 1D 量子系统的低能物理，尤其是能隙消失相的出现。
• 建立 $\mathcal{C}_G$-对称模型与 2+1D 拓扑相边界理论（包括 SPT 和 SET 态）之间的联系。

提出的方法

• 构建始于一个 $G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$，其中对象由群元素 $g \in G$ 标记，融合规则尊重该分次结构。
• 希尔伯特空间定义在一维格点上，局部自由度由 $\mathcal{C}_G$ 中的 anyon 标记，融合规则通过 $F$-符号和量子维数编码。
• 引入一个与范畴对称性生成元 $U(y_h)$ 对易的哈密顿量，确保其在融合范畴代数结构下的不变性。
• 通过作用于格点上的幺正算符 $U(y_h)$ 实现范畴对称性，其对称代数由 $\mathcal{C}_G$ 的融合规则导出。
• 利用精确对角化方法对多种 $\mathcal{C}_G$ 例子进行数值研究，包括 $\mathbb{Z}_2$、任意子、Tambara-Yamagami 和 $SU(2)_k$ 范畴。
• 严格证明了投影算符 $B_p$ 的迹在希尔伯特空间中为 1，确认了范畴对称代数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地构建由 $G$-graded 融合范畴描述的广义对称性的 1D 量子格点模型？
• RQ2 异常范畴对称性在 1D 系统中的低能后果是什么，特别是关于能隙消失或自发对称性破缺？
• RQ3 $\mathcal{C}_G$-对称模型在多大程度上实现了 2+1D 对称 enriched 拓扑相的边缘理论？
• RQ4 范畴对称性是否能代数性地约束系统，使其更倾向于能隙消失的 CFT 而非能隙相？
• RQ5 不同的融合范畴（$\mathbb{Z}_2$、Ising、Tambara-Yamagami、$SU(2)_k$）在模型的相结构中如何体现？

主要发现

• 所构建的 1D 格点模型实现了 anyon-chain 模型与二维 SPT 相边缘理论之间的插值，其中 $\mathcal{C}_G$ 对称性作为广义全局对称性发挥作用。
• 数值结果表明，当 $\kappa = 1$ 和 $\kappa = -1$ 时，模型表现出能隙消失的低能物理，与共形场论一致。
• 范畴对称性对系统施加了极强的约束，使得出现能隙且非简并的基态的可能性极低，更倾向于能隙消失或拓扑序相。
• 投影算符 $B_p$ 的迹被严格证明为 1，确认了范畴对称代数在希尔伯特空间中的一致性。
• 对于 $G = \mathbb{Z}_2$ 的 $\mathcal{C}_G$，该模型实现了具有非平凡 3-上循环异常的玻色子 SPT 相的边缘理论。
• 这些模型表现出异常范畴对称性，阻止了对称的能隙非简并基态的存在，与 't Hooft 异常约束一致。