[论文解读] Building arbitrage-free implied volatility: Sinkhorn's algorithm and variants

Hadrien De March, Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 16

一句话总结

本文提出了一种快速且收敛的数值方法，利用Sinkhorn算法及其变体，从买卖报价中构建无套利隐含波动率曲面。通过将问题建模为鞅最优传输任务，该方法在行权价和到期期限上均强制执行无套利条件，同时在买卖价差范围内精确拟合市场报价，实现了高速校准并具备理论上的收敛保证。

ABSTRACT

We consider the classical problem of building an arbitrage-free implied volatility surface from bid-ask quotes. We design a fast numerical procedure, for which we prove the convergence, based on the Sinkhorn algorithm that has been recently used to solve efficiently (martingale) optimal transport problems.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效且收敛的程序，用于构建无日历套利和蝶式套利的隐含波动率曲面。
• 确保在买卖价差范围内精确拟合市场看涨期权报价，保持市场一致性。
• 保持再现复杂波动率模式（如财报前的墨西哥帽形微笑）的能力。
• 提供一种可扩展的解决方案，适用于股票期权市场的做市商和风险中性模型校准。

提出的方法

• 该方法将构建无套利波动率曲面的问题形式化为带有边际约束和矩约束的鞅最优传输问题。
• 应用Sinkhorn算法迭代缩放联合分布，以匹配经验边际分布和鞅约束，从而确保无套利条件。
• 通过在优化中直接引入Bregman投影的看涨期权价格约束，实现对市场报价的精确拟合。
• 采用带熵正则化的对偶形式，以确保数值稳定性和快速收敛。
• 该方法处理离散时间网格和离散行权价，使其能够实际应用于真实市场数据。
• 通过Bregman投影和强凸性论证证明收敛性，在非退化条件下全局收敛至唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sinkhorn算法能否被调整以构建尊重买卖报价和鞅约束的无套利隐含波动率曲面？
• RQ2 该方法如何在精确拟合观测市场期权价格的同时，确保行权价和到期期限的无套利性？
• RQ3 所提出的算法的收敛行为如何？在何种条件下会全局收敛至唯一解？
• RQ4 与现有参数化或SVM-based方法相比，该方法在速度、精度和鲁棒性方面表现如何？
• RQ5 该算法在实践中能否扩展以处理非均匀时间网格和离散行权价集合？

主要发现

• 在非退化条件下，所提出的算法全局收敛至唯一解，收敛速度由强凸性和Bregman投影理论保证。
• 该方法确保在买卖价差范围内精确拟合看涨期权价格，保持市场一致性。
• 所得到的隐含波动率曲面既无日历套利也无蝶式套利，这是由鞅约束和边际约束强制实现的。
• 该算法计算高效且可扩展，适用于实时做市和校准任务。
• 通过熵正则化和对偶性理论证明了理论收敛性，并给出了优化过程中梯度不匹配的显式界。
• 该方法成功再现了复杂波动率模式（如墨西哥帽形微笑），即使在稀疏或噪声数据下校准时亦然。