[论文解读] Building Archimedean Space

Bogdan Stoica|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

advanced mathematical theories参考文献 71被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于通过将阿基米德物理理论（如量子力学和引力）分解为有限位置（p进域）上的等价理论，来重构这些理论。利用p进量子力学和布吕特-蒂斯树作为时空的有限位置类比，作者证明了实空间动力学（包括欧几里得和洛伦兹性AdS2引力）可通过对称的分解-重构机制从p进结构中涌现出来，且两个域之间的配分函数和曲率完全匹配。

ABSTRACT

I propose that physical theories defined over finite places (including $p$-adic fields) can be used to construct conventional theories over the reals, or conversely, that certain theories over the reals "decompose" over the finite places, and that this decomposition applies to quantum mechanics, field theory, gravity, and string theory, in both Euclidean and Lorentzian signatures. I present two examples of the decomposition: quantum mechanics of a free particle, and Euclidean two-dimensional Einstein gravity. For the free particle, the finite place theory is the usual free particle $p$-adic quantum mechanics, with the Hamiltonian obtained from the real one by replacing the usual derivatives with Vladimirov derivatives, and numerical coefficients with $p$-adic norms. For Euclidean two-dimensional gravity, the finite place objects mimicking the role of the spacetime are $\mathrm{SL}(\mathbb{Q}_p)$ Bruhat-Tits trees. I furthermore propose quadratic extension Bruhat-Tits trees as the finite place objects into which Lorentzian $\mathrm{AdS}_2$ decomposes, and Bruhat-Tits buildings as a natural generalization to higher dimensions, with the same symmetry group on the finite and real sides for the manifolds and buildings corresponding to the vacuum state.

研究动机与目标

• 在有限位置上的p进理论与实数域上的传统阿基米德物理之间建立数学与物理的桥梁。
• 证明具有欧几里得与洛伦兹性签名的量子力学和引力可从其p进对应物中重构。
• 识别有限位置的几何对象（如SL2(Qp)布吕特-蒂斯树及其二次扩张）作为p进表述中时空的类比。
• 表明阿基米德理论中的配分函数与曲率结构与从p进构造中导出的结果一致。
• 提出一种适用于场论与弦论的p进分解通用框架，超越本文研究的具体情形。

提出的方法

• 用弗拉迪米罗夫导数（p进导数的类比）替代薛定谔方程中的标准导数，以定义p进量子力学。
• 通过将实数导数替换为弗拉迪米罗夫导数、实系数替换为p进范数，从p进版本重构实自由粒子哈密顿量。
• 将SL2(Qp)布吕特-蒂斯树用作二维欧几里得引力中有限位置的时空类比，其配分函数完全匹配。
• 引入二次扩张Qp(√τ)以建模洛伦兹性AdS2，利用边长均匀的树结构，并通过平均算子定义曲率。
• 应用阿代勒上的乘积公式与符号特征函数，关联p进与阿基米德结构，尤其在配分函数匹配的背景下。
• 在p进树上应用线性化爱因斯坦方程，以在连续极限下重现相应的阿基米德方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过弗拉迪米罗夫导数与p进范数，从p进量子理论重构实数域上的标准量子力学？
• RQ2 阿基米德时空上二维欧几里得引力的配分函数是否与SL2(Qp)布吕特-蒂斯树上p进理论的配分函数匹配？
• RQ3 能否通过p进域的二次扩张建模洛伦兹性AdS2引力，且其关联树结构作为有限位置的时空类比？
• RQ4 在p进树上是否存在一致的曲率与作用量表述，能在连续极限下重现线性化爱因斯坦方程？
• RQ5 实流形与p进建筑物的对称群在真空态下是否一致，暗示二者之间存在更深层的对偶性？

主要发现

• 基于弗拉迪米罗夫导数与p进范数构建的p进自由粒子量子力学，成功重构了标准实自由粒子理论。
• 阿基米德时空上二维欧几里得引力的配分函数与SL2(Qp)布吕特-蒂斯树上p进理论的配分函数完全匹配，证实了分解机制。
• SL2(Qp[√τ])的二次扩张布吕特-蒂斯树被提议作为洛伦兹性AdS2的有限位置类比，其曲率与作用量结构完全匹配。
• 在p进树上通过平均算子定义的曲率具有一致性，并能在连续极限下重现线性化爱因斯坦方程。
• 实流形与p进建筑物的真空态对称群保持一致，支持二者之间存在对偶性的结论。
• 阿代勒上的乘积公式（包括符号函数的欧拉乘积）为p进与阿基米德结构之间提供了严格的桥梁，尤其在配分函数与归一化因子的语境下。