[论文解读] Building Cantor's Bijection

Samuel Nicolay, Laurent Simons|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2014

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过使用Schröder-Bernstein定理，对Cantor原始的基于十进制的非满射映射进行修正，构建了单位正方形[0,1]²与单位区间[0,1]之间的双射。从因十进制展开不唯一而无法保证满射的Cantor函数𝒞出发，作者定义了一个新的双射f*，该函数几乎处处与𝒞一致，但在一个零测度集上通过基于迭代注入的改进方式修正了其缺陷，从而在正方形与区间之间实现了完全的双射对应关系。

ABSTRACT

Cantor's first idea to build a one-to-one mapping from the unit interval to the unit square did not work since, as pointed out by Dedekind, the so-obtained function is not surjective. Here, we start from this function and modify it (on a negligible set) in order to obtain the desired result: a one-to-one correspondance between the unit interval and the unit square.

研究动机与目标

• 解决Cantor原始尝试通过十进制交错法在[0,1]²与[0,1]之间构造双射的失败问题。
• 回应Dedekind的批评：Cantor的基于十进制的函数𝒞因非正规十进制展开而无法保证满射。
• 利用Schröder-Bernstein定理，从[0,1]²到[0,1]构造一个完全的双射映射。
• 提供一种构造性、显式的双射，仅在可忽略集合上修正Cantor初始函数的缺陷，同时在几乎处处保持其结构。

提出的方法

• 基于x和y的正规十进制展开，定义一个从[0,1]²到[0,1]的单射f，对边界点（x=1或y=1）进行特殊处理。
• 通过g(t) = (t, 0)定义一个反向单射g: [0,1] → [0,1]²，确保其单射性。
• 应用Schröder-Bernstein定理，通过从A₀ = [0,1]×(0,1]和B₀ = f(A₀)开始，构造[0,1]²与[0,1]的子集序列(Aₙ)与(Bₙ)。
• 对n ≥ 1，迭代定义Aₙ = g(Bₙ₋₁)与Bₙ = f(Aₙ)，以捕捉注入映射的像链。
• 通过设置f*(x,y) = f(x,y)当(x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ，否则f*(x,y) = x，构造最终的双射f*，以确保双射性。
• 证明：f*与f的差异集合位于[0,1]×{0}内，该集合在ℝ²中为Lebesgue零测度集。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cantor原始的基于十进制交错的函数能否被修正，从而在[0,1]²与[0,1]之间产生真正的双射？
• RQ2 Cantor初始函数为何无法保证满射？其失败能否被系统性地修正？
• RQ3 Schröder-Bernstein定理能否被构造性地应用，以从一对单射构造出显式的双射，即使其中一个单射并非满射？
• RQ4 修正后的双射与原始十进制交错函数不同的集合在测度论上的大小如何？
• RQ5 修正集合的结构能否以十进制展开模式为依据被显式刻画？

主要发现

• 通过f*(x,y) = f(x,y)当(x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ，否则f*(x,y) = x所定义的函数f*，是从[0,1]²到[0,1]的良定义双射。
• f*与原始函数𝒞不同的集合包含于[0,1]×{0}，该集合在ℝ²中具有Lebesgue测度零，因此f* = 𝒞几乎处处成立。
• 该构造显式识别出修正集合为不属于任何Aₙ的点(x,y)，即满足y=0且x不在任何Bₙ下g的像中的点。
• 序列(Aₙ)与(Bₙ)通过迭代应用f与g严格定义，其中Aₙ = g(Bₙ₋₁)与Bₙ = f(Aₙ)，形成一组递减的集合链。
• 双射f*是单射且满射的，因为它结合了f在⋃ₙ Aₙ上的双射像与g⁻¹在补集上的双射像，满足Schröder-Bernstein定理的条件。
• 最终映射f*保留了Cantor十进制交错的直观结构，同时通过在零测度集上进行最小且明确定义的修正，解决了其非满射性问题。