[论文解读] Building Space-Time Meshes over Arbitrary Spatial Domains

Jeff Erickson, Damrong Guoy+2 more|ArXiv.org|Jun 1, 2002

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文提出一种新颖的算法，用于在任意维度的单纯形区域上生成分级时空网格，采用广义的“帐篷工”（Tent Pitcher）方法，根据局部空间网格质量和特征尺寸自适应调整单元持续时间。该方法以每个单元的常数时间构建高质量、无环的时空网格，通过满足锥约束并避免全局时间步长，实现时空间断伽辽金有限元问题的高效线性时间求解。

ABSTRACT

We present an algorithm to construct meshes suitable for space-time discontinuous Galerkin finite-element methods. Our method generalizes and improves the `Tent Pitcher' algorithm of Üngör and Sheffer. Given an arbitrary simplicially meshed domain M of any dimension and a time interval [0,T], our algorithm builds a simplicial mesh of the space-time domain Mx[0,T], in constant time per element. Our algorithm avoids the limitations of previous methods by carefully adapting the durations of space-time elements to the local quality and feature size of the underlying space mesh.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展、通用的算法，用于在适用于间断伽辽金（DG）有限元方法的任意空间区域上构建时空网格。
• 克服先前方法依赖固定全局时间步长或对网格施加严格几何约束的局限性。
• 确保时空单元满足锥约束，从而通过避免耦合单元依赖关系，实现线性时间求解策略。
• 将帐篷工算法推广至处理可变波速和局部空间网格质量，实现分级时间细化。
• 支持动态网格操作，如局部重网格化、细化和粗化，以响应误差估计实现自适应模拟。

提出的方法

• 该算法采用推进前沿策略，通过时空空间逐步推进，基于局部空间网格质量和特征尺寸逐个构建单纯形单元。
• 引入一种改进的进度约束，确保每个前沿顶点在时间上足够推进，其中可调参数 ε 控制每一步的最小推进量。
• 单元持续时间根据每个点的局部空间网格质量和波速自适应选择，避免使用固定时间步长。
• 通过确保相邻单元之间的边界面不分离影响与依赖锥，从而强制满足锥约束，防止信息反向传播。
• 该算法通过允许非均匀时间步长和处理任意维度的单纯形网格，推广了原始帐篷工算法。
• 该方法保持网格无环性，并确保依赖图形成偏序关系，从而支持高效的逐单元求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种时空网格生成算法，避免使用固定全局时间步长，转而根据局部空间网格质量自适应调整单元持续时间？
• RQ2 如何以确保无环依赖关系并支持时空DG问题线性时间求解的方式强制执行锥约束？
• RQ3 帐篷工算法能否推广至任意维度的单纯形空间区域（而不仅限于平面区域）？
• RQ4 进度约束参数 ε 的变化对网格质量、单元数量和时间分级有何影响？
• RQ5 该方法能否扩展以支持动态网格操作，如根据误差估计进行局部重网格化、细化和粗化？

主要发现

• 该算法以每个单元的常数时间构建时空网格，使其在大规模模拟中极为高效。
• 在不同 ε 参数值下，网格质量和单元数量仅变化百分之几，较小的 ε 值导致单元数量略少。
• 对于以锐角三角形为主的高质量空间网格，进度约束仅在孤立区域有显著影响，表明对网格质量变化具有鲁棒性。
• 该方法成功生成满足锥约束的分级时空网格，确保无环依赖关系，从而实现DG系统线性时间求解。
• 该方法通过支持可变时间步长和处理任意维度单纯形区域，推广了帐篷工算法，克服了以往在区域几何形状和波速行为上的限制。
• 实验结果表明，即使在复杂空间区域上，该方法也能生成时间分级的网格，结果中时空单元持续时间的时间分级特征清晰可见。