[论文解读] Buildings of classical groups and centralizers of Lie algebra elements

Paul Broussous, Shaun Stevens|ArXiv.org|Feb 13, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文从经典群 $ G $ 中半单李代数元素 $ \beta $ 的中心化子 $ H $ 的扩张 Bruhat-Tits 建筑构造到 $ G $ 的建筑的自然、仿射、$ H $-等变映射 $ j_\beta: I_\beta^1 \to I $，并证明这些映射与 Moy-Prasad 李代数滤子相容。关键结果是当 $ H $ 为一般线性群或满足某一技术条件时，$ j_\beta $ 由这种滤子相容性唯一确定。

ABSTRACT

Let F_o be a non-archimedean locally compact field of residual characteristic not 2. Let G be a classical group over F_o (with no quaternionic algebra involved) which is not of type A_n for n>1. Let b be an element of the Lie algebra g of G that we assume semisimple for simplicity. Let H be the centralizer of b in G and h its Lie algebra. Let I and I_b denote the (enlarged) Bruhat-Tits buildings of G and H respectively. We prove that there is a natural set of maps j_b : I_b --> I which enjoy the following properties: they are affine, H-equivariant, map any apartment of I_b into an apartment of I and are compatible with the Lie algebra filtrations of g and h. In a particular case, where this set is reduced to one element, we prove that j_b is characterized by the last property in the list. We also prove a similar characterization result for the general linear group.

研究动机与目标

• 在非阿基米德局部域的背景下，建立经典群及其中心化子的扩张 Bruhat-Tits 建筑之间的函子性、自然映射。
• 证明此类映射是仿射的、$ H $-等变的、公寓保持的，并且与 Moy-Prasad 李代数滤子相容。
• 在一般线性群及某些经典群的情形下，通过与李代数滤子的相容性唯一刻画映射 $ j_\beta $。
• 通过 Lie 代数元素的中心化子将表示论中的结构理论扩展为与建筑和滤子的关联。

提出的方法

• 使用经典群的仿射建筑模型中的自对偶格函数构造映射 $ j_\beta $。
• 运用 Bruhat-Tits 建筑理论，并将 $ I_\beta^1 $ 与 $ V $ 上的格函数相联系，特别是在 $ E = F[\beta] $ 为域的情况下。
• 应用李代数上的 Moy-Prasad 滤子，并通过映射 $ j_\beta $ 比较 $ \mathfrak{g} $ 和 $ \mathfrak{h} $ 上的滤子。
• 利用中心化子 $ H $ 作为限制标量的经典群或一般线性群的乘积的结构，特别是在 $ J_+ = \emptyset $ 时。
• 利用整数环中 $ 2 $ 可逆的事实，将李代数分解为伴随作用下的固定点子空间。
• 基于等式 $ \mathfrak{g}_{y,r} \cap \mathfrak{h} = \mathfrak{h}_{x,r} $ 对所有 $ r \in \mathbb{R} $ 成立的唯一性论证，从而强制得出 $ y = j_\beta(x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为经典群构造一个从中心化子 $ H $ 的建筑到 $ G $ 的建筑的自然、$ H $-等变、仿射映射？
• RQ2 这样的映射是否由与 Moy-Prasad 李代数滤子的相容性唯一确定？
• RQ3 在一般线性群情形与经典群情形下，该构造有何不同？
• RQ4 域 $ E = F[\beta] $ 在决定中心化子结构和映射 $ j_\beta $ 的作用是什么？
• RQ5 在何种条件下，映射 $ j_\beta $ 仅由其与李代数滤子的相容性唯一确定？

主要发现

• 映射 $ j_\beta: I_\beta^1 \to I $ 是良定义的，仿射的，$ H $-等变的，并将 $ I_\beta^1 $ 的公寓映射到 $ I $ 的公寓。
• 映射 $ j_\beta $ 与 $ \mathfrak{g} $ 和 $ \mathfrak{h} $ 上的 Moy-Prasad 李代数滤子相容。
• 在一般线性群且 $ \beta $ 为椭圆元素的情形下，映射 $ j_\beta $ 由滤子相容性唯一确定。
• 对于满足 $ J_+ = \emptyset $ 且 $ \beta $ 满足某一技术条件的经典群，映射 $ j_\beta $ 同样由滤子相容性唯一确定。
• 猜想：当 $ J_+ = \emptyset $ 时，$ j_\beta $ 总是由滤子相容性唯一确定。
• 反例表明，仅具有性质 (a)-(c) 不足以唯一确定经典群中的 $ j_\beta $，这凸显了滤子相容性在唯一性中的必要性。