[论文解读] Bumpless Pipedreams, Reduced Word Tableaux and Stanley Symmetric Functions

Neil J. Y. Fan, Peter L. Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文构建了约化字表和EG-管道梦之间保持形状的双射，解决了Lam、Lee与Shimozono提出的问题。通过使用改进的Lascoux-Sch"utzenberger树与Edelman-Greene树结构，结合Little映射与Edelman-Greene插入算法，作者建立了直接对应关系，保持了表的形状与组合结构。

ABSTRACT

Lam, Lee and Shimozono introduced the structure of bumpless pipedreams in their study of back stable Schubert calculus. They found that a specific family of bumpless pipedreams, called EG-pipedreams, can be used to interpret the Edelman-Greene coefficients appearing in the expansion of a Stanley symmetric function in the basis of Schur functions. It is well known that the Edelman-Greene coefficients can also be interpreted in terms of reduced word tableaux for permutations. Lam, Lee and Shimozono proposed the problem of finding a shape preserving bijection between reduced word tableaux for a permutation $w$ and EG-pipedreams of $w$. In this paper, we construct such a bijection. The key ingredients are two new developed isomorphic tree structures associated to $w$: the modified Lascoux-Schützenberger tree of $w$ and the Edelman-Greene tree of $w$. Using the Little map, we show that the leaves in the modified Lascoux-Schützenberger of $w$ are in bijection with the reduced word tableaux for $w$. On the other hand, applying the droop operation on bumpless pipedreams also introduced by Lam, Lee and Shimozono, we show that the leaves in the Edelman-Greene tree of $w$ are in bijection with the EG-pipedreams of $w$. This allows us to establish a shape preserving one-to-one correspondence between reduced word tableaux for $w$ and EG-pipedreams of $w$.

研究动机与目标

• 解决约化字表与EG-管道梦之间直接、保持形状的双射问题，针对给定排列$w$。
• 基于一般过渡关系，开发新的组合结构——改进的Lascoux-Sch"utzenberger树与Edelman-Greene树。
• 通过Little映射建立改进LS树的叶节点与约化字表之间的联系。
• 证明通过在无凸起管道梦上应用下垂操作所构建的Edelman-Greene树的叶节点，与$w$的EG-管道梦之间存在双射关系。
• 提供一种构造性、可逆的映射$\Gamma$，将约化字表与EG-管道梦对应起来，保持形状与组合类型。

提出的方法

• 引入$w$的改进Lascoux-Sch"utzenberger树（改进LS树），其中子节点通过在排列上应用一般（非最大）过渡生成。
• 使用Little映射将改进LS树中的每个叶节点与$w$的约化字表对应，确保形状保持不变。
• 通过在无凸起管道梦上应用下垂操作（从Rothe管道梦开始），构建$w$的Edelman-Greene树（EG树）。
• 证明EG树的叶节点与$w$的EG-管道梦之间存在双射关系，利用下垂操作能够生成所有此类管道梦的性质。
• 通过从列读取字的排列路径与逆$\theta$-操作，定义映射$\Gamma$，将约化字表映射到EG-管道梦。
• 通过在管道梦的NW拐角的逆字上应用Edelman-Greene插入，定义从EG-管道梦到约化字表的逆映射$\widetilde{\Gamma}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在针对给定排列$w$的约化字表与EG-管道梦之间的直接、保持形状的双射？
• RQ2 改进的Lascoux-Sch"utzenberger树能否通过Little映射参数化$w$的约化字表？
• RQ3 能否通过在无凸起管道梦上应用下垂操作构建的树，生成$w$的EG-管道梦？
• RQ4 改进LS树与EG树之间的对应关系是否保持了底层表与管道梦的形状？
• RQ5 能否通过插入算法与逆过渡映射显式构造该双射的逆？

主要发现

• 作者为任意排列$w$构建了约化字表与EG-管道梦之间的形状保持双射$\Gamma$，解决了Lam、Lee与Shimozono的Problem 1.1。
• 改进Lascoux-Sch"utzenberger树的叶节点与$w$的约化字表之间存在双射关系，Little映射提供了该对应关系。
• Edelman-Greene树的叶节点与$w$的EG-管道梦之间存在双射关系，该树通过在无凸起管道梦上应用下垂操作构建。
• 映射$\Gamma$是可逆的，其逆映射$\widetilde{\Gamma}$通过在管道梦的NW拐角的逆字上应用Edelman-Greene插入构造。
• 该构造确保了约化字表的形状与对应EG-管道梦的形状一致，保持了组合结构。
• 改进的LS树避免了排列大小膨胀，与经典LS树不同，使其在展开Stanley对称函数时更具可控性。