[论文解读] Bundle-based pruning in the max-plus curse of dimensionality free method

Stéphane Gaubert, Zheng Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出一种束法（bundle method），用于在无维度灾难的极大-加法最优控制方法中实现高效剪枝，其中基于通过凸优化计算的重要性度量对基函数进行剪枝。该方法在基函数数量上实现线性计算复杂度，相较于标准内点法求解器，在量子门合成问题的数值实验中表现显著更优。

ABSTRACT

Recently a new class of techniques termed the max-plus curse of dimensionality-free methods have been developed to solve nonlinear optimal control problems. In these methods the discretization in state space is avoided by using a max-plus basis expansion of the value function. This requires storing only the coefficients of the basis functions used for representation. However, the number of basis functions grows exponentially with respect to the number of time steps of propagation to the time horizon of the control problem. This so called "curse of complexity" can be managed by applying a pruning procedure which selects the subset of basis functions that contribute most to the approximation of the value function. The pruning procedures described thus far in the literature rely on the solution of a sequence of high dimensional optimization problems which can become computationally expensive. In this paper we show that if the max-plus basis functions are linear and the region of interest in state space is convex, the pruning problem can be efficiently solved by the bundle method. This approach combining the bundle method and semidefinite formulations is applied to the quantum gate synthesis problem, in which the state space is the special unitary group (which is non-convex). This is based on the observation that the convexification of the unitary group leads to an exact relaxation. The results are studied and validated via examples.

研究动机与目标

• 解决极大-加法无维度灾难方法中的‘复杂度诅咒’问题，即基函数数量随时间步数呈指数增长。
• 降低当前依赖求解大量大规模半定规划来计算重要性度量的剪枝计算成本。
• 为高维场景下重要性度量计算开发一种可扩展的通用凸求解器（如CVX/SDPT3）替代方案。
• 使极大-加法方法能够实际应用于复杂问题，如量子门合成，其中状态空间为非凸（例如酉群）。

提出的方法

• 将束法——一种非内点法的凸优化技术——应用于极大-加法方法中基函数剪枝的重要性度量计算。
• 利用基函数的线性性质与状态空间的凸性，将剪枝问题重新表述为可通过束法求解的凸优化问题。
• 采用半定规划形式，将重要性度量表示为矩阵值函数内积的极大-极小问题。
• 对特殊酉群SU(n)进行凸化处理，映射至矩阵单位球，并证明该处理对量子门合成问题可实现精确松弛。
• 使用束法实现算法1，参数设置为μ=0.5, ε=1e-8, γ=0.5，并在基准实例上与CVX/SDPT3对比性能表现。
• 通过逼近函数φβ对真实目标φ的统一收敛性，以及紧致性论证（Arzelà-Ascoli定理）证明酉最优解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基函数为线性且状态空间为凸时，束法是否能有效应用于极大-加法基方法中重要性度量的计算？
• RQ2 对于大规模剪枝问题，束法是否在计算复杂度上显著优于标准内点法求解器（如CVX/SDPT3）？
• RQ3 对酉群SU(n)的凸化处理是否为量子门合成问题提供了有效松弛，使得最优解仍保持为酉矩阵？
• RQ4 束法的迭代次数如何随基函数数量变化？这在实际中是否影响整体计算时间？

主要发现

• 束法的计算时间与基函数数量m近似呈线性关系，而内点法求解器的复杂度为O(m^3.5)。
• 束法中的迭代次数K₀保持稳定，不随m增加而上升，解释了其计算成本缓慢增长的原因。
• 在所有测试的m值下，束法计算出的最优值与CVX的差异小于5e-8，表明具有极高的数值精度。
• SU(n)到单位球的凸化处理可实现精确松弛，如定理IV.1所证明，该定理保证了酉最优解的存在性。
• 图1中的数值结果表明，随着m增大，束法显著快于内点法（CVX/SDPT3），尤其在m>100后更为明显。
• 束法保持了高精度与稳定性，对偶间隙与解的差异均在1e-8量级，与标准求解器相当。