[论文解读] Bundled fragments of first-order modal logic: (un)decidability

Anantha Padmanabha, R. Ramanujam+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 7

一句话总结

本文研究了一阶模态逻辑的捆绑片段，其中量词与模态词在语法上组合（例如，∃x□φ 或 ∀x□φ）。研究发现，在常量域和递增域语义下，∃□ 片段是可判定的，且复杂度为 PSPACE 完全；而 ∀□ 片段在常量域下是不可判定的——即使仅使用一元谓词也是如此，但在递增域下是可判定的。主要贡献在于为 ∃□ 片段提出了一种基于表的判定过程，其复杂度达到最优。

ABSTRACT

Quantified modal logic provides a natural logical language for reasoning about modal attitudes even while retaining the richness of quantification for referring to predicates over domains. But then most fragments of the logic are undecidable, over many model classes. Over the years, only a few fragments (such as the monodic) have been shown to be decidable. In this paper, we study fragments that bundle quantifiers and modalities together, inspired by earlier work on epistemic logics of know-how/why/what. As always with quantified modal logics, it makes a significant difference whether the domain stays the same across worlds, or not. In particular, we show that the bundle $\forall \Box$ is undecidable over constant domain interpretations, even with only monadic predicates, whereas $\exists \Box$ bundle is decidable. On the other hand, over increasing domain interpretations, we get decidability with both $\forall \Box$ and $\exists \Box$ bundles with unrestricted predicates. In these cases, we also obtain tableau based procedures that run in \PSPACE. We further show that the $\exists \Box$ bundle cannot distinguish between constant domain and increasing domain interpretations.

研究动机与目标

• 识别一阶模态逻辑（FOML）的语法片段，使其在 FOML 一般不可判定的前提下仍保持可判定性。
• 探讨将量词与模态词捆绑（例如 ∃x□φ）是否能产生标准片段失败时仍可判定的片段。
• 比较在常量域与递增域语义下，捆绑片段的可判定性。
• 为 ∃□ 片段开发一种基于表的判定过程，且复杂度最优。
• 通过语法捆绑，厘清一阶模态逻辑中可判定与不可判定片段之间的边界。

提出的方法

• 本文定义了一类新的 FOML 片段，其中量词始终与模态词配对，形成如 ∃x□φ 或 ∀x□φ 的组合。
• 区分常量域语义（D 在各世界间保持不变）与递增域语义（D 随世界递增）。
• 针对 ∃□ 片段，构建了一种表推理过程，通过在递增域表中模拟常量域推理，实现 PSPACE 复杂度。
• 通过证明 ∃□ 无法区分两种语义，从而证明其在常量域和递增域下均为可判定。
• 通过归约至不可判定的一阶片段，证明 ∀□ 在常量域下不可判定，即使仅使用一元谓词。
• 采用重命名与剪枝技术，将递增域表转换为等价的常量域表，同时保持开放性与正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 ∃x□ 组合在一阶模态逻辑的常量域解释下是否可判定？
• RQ2 ∀x□ 组合在一阶模态逻辑的常量域解释下是否可判定，即使仅使用一元谓词？
• RQ3 ∃x□ 片段在常量域与递增域语义下的可判定性是否一致？
• RQ4 能否为 ∃x□ 片段构造一种基于表的判定过程，且复杂度为 PSPACE？
• RQ5 语法上捆绑量词与模态词对一阶模态逻辑可判定性边界的影响力是什么？

主要发现

• ∃x□ 片段在常量域与递增域语义下均为可判定，且具有 PSPACE 完全的判定过程。
• ∀x□ 片段在常量域解释下不可判定，即使限制为一元谓词。
• ∃x□ 片段无法区分常量域与递增域语义，因其满足性在两种语义下均保持不变。
• 本文构造了一种基于表的 ∃□ 判定过程，通过将递增域表转换为等价的常量域表，实现 PSPACE 复杂度。
• ∀x□ 片段在常量域下仍不可判定，因其可通过隐式量化编码不可判定的一阶片段。
• 研究结果在 FOML 中清晰揭示了 ∃□ 的可判定性与 ∀□ 的不可判定性之间的鲜明对比，凸显了量词方向在捆绑片段中的关键作用。