[论文解读] Burning a Graph is Hard

Anthony Bonato, Jeannette Janssen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文证明了即使在如无环图（最大度为三）、蜘蛛图和路径森林等受限图类中，确定图的燃烧数也是NP完全问题。此外，当臂的数量或连通分量数固定时，本文还提供了在这些图类中计算燃烧数的多项式时间算法，从而为这一NP难问题界定了可解的边界。

ABSTRACT

Graph burning is a model for the spread of social contagion. The burning number is a graph parameter associated with graph burning that measures the speed of the spread of contagion in a graph; the lower the burning number, the faster the contagion spreads. We prove that the corresponding graph decision problem is extbf{NP}-complete when restricted to acyclic graphs with maximum degree three, spider graphs and path-forests. We provide polynomial time algorithms for finding the burning number of spider graphs and path-forests if the number of arms and components, respectively, are fixed.

研究动机与目标

• 确定稀疏且具有特定结构的图类中图燃烧问题的计算复杂性。
• 确定当图的最大度为三且为无环图时，图燃烧判定问题是否为NP完全。
• 研究蜘蛛图和路径森林的图燃烧问题的复杂性。
• 开发在结构参数（如臂的数量、连通分量数）固定时高效计算燃烧数的算法。

提出的方法

• 通过从已知的NP完全问题进行归约，证明在最大度为三的无环图上图燃烧问题是NP完全的。
• 构建一种递归算法，基于完美蜘蛛图和最大路径森林生成具有燃烧数k的候选图。
• 利用集合方程 $ N_{k-1}[x_1] \cup N_{k-2}[x_2] \cup \cdots \cup N_0[x_k] = V(G) $ 验证有效的燃烧序列。
• 枚举所有可能的k-燃烧最大蜘蛛图（k-BMS^t）和路径森林子图，用于与输入图进行比较。
• 将输入图的臂长与候选图进行比较，以确定最小的k，使得输入图是某个k-BMS^t图的子图。
• 应用文献[5]中的推论4，得出若G是k-BMS^t图的子图，则b(G) = k。

实验结果

研究问题

• RQ1 图燃烧判定问题在最大度为三的无环图上是否为NP完全？
• RQ2 图燃烧的NP完全性是否可推广至蜘蛛图和路径森林？
• RQ3 当蜘蛛图的臂数固定时，是否可在多项式时间内计算其燃烧数？
• RQ4 当路径森林的连通分量数固定时，是否存在多项式时间算法来计算其燃烧数？
• RQ5 哪些结构特性可刻画具有给定燃烧数的图？

主要发现

• 当限制在最大度为三的无环图时，图燃烧判定问题是NP完全的。
• 即使在结构简化的情况下，该问题在蜘蛛图和路径森林上仍保持NP完全性。
• 当蜘蛛图的臂数固定时，存在一个多项式时间算法来计算其燃烧数。
• 当路径森林的连通分量数固定时，提供了计算其燃烧数的多项式时间算法。
• 作为分析的一部分，确定了完美二叉树的燃烧数。
• 该算法通过检查输入图是否为k-燃烧最大图族（k-BMS^t）的子图，正确计算出燃烧数。