[论文解读] Burning Two Worlds: Algorithms for Burning Dense and Tree-like Graphs

Shahin Kamali, Avery Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文提出了两种图燃烧的新算法：一种针对基于最小度的稠密图，实现最多 $\sqrt{\frac{24n}{\delta+1}}$ 轮的燃烧时间；另一种针对路径长度或树长度有界的图，分别提供 $1+o(1)$ 和 $2+o(1)$ 的近似比。主要贡献在于相较于以往工作，显著提升了稠密图和结构化图的近似保证。

ABSTRACT

Graph burning is a simple model for the spread of social influence in networks. The objective is to measure how quickly a fire (e.g., a piece of fake news) can be spread in a network. The burning process takes place in discrete rounds. In each round, a new fire breaks out at a selected vertex and burns it. Meanwhile, the old fires extend to their neighbours and burn them. A burning schedule selects where the new fire breaks out in each round, and the burning problem asks for a schedule that burns all vertices in a minimum number of rounds, termed the burning number of the graph. The burning problem is known to be NP-hard even when the graph is a tree or a disjoint set of paths. For connected graphs, it has been conjectured that burning takes at most $\lceil \sqrt{n} ceil$ rounds. We approach the algorithmic study of graph burning from two directions. First, we consider graphs with minimum degree $δ$. We present an algorithm that burns any graph of size $n$ in at most $\sqrt{\frac{24n}{δ+1}}$ rounds. In particular, for dense graphs with $δ\in Θ(n)$, all vertices are burned in a constant number of rounds. More interestingly, even when $δ$ is a constant that is independent of the graph size, our algorithm answers the graph-burning conjecture in the affirmative by burning the graph in at most $\lceil \sqrt{n} ceil$ rounds. Next, we consider burning graphs with bounded path-length or tree-length. These include many graph families including connected interval graphs and connected chordal graphs. We show that any graph with path-length $pl$ and diameter $d$ can be burned in $\lceil \sqrt{d-1} ceil + pl$ rounds. Our algorithm ensures an approximation ratio of $1+o(1)$ for graphs of bounded path-length. We introduce another algorithm that achieves an approximation ratio of $2+o(1)$ for burning graphs of bounded tree-length.

研究动机与目标

• 通过为特定图类设计高效的近似算法，解决 NP-难的图燃烧问题。
• 通过证明在最多 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 轮内完成燃烧，正面证实最小度为常数的图的图燃烧猜想。
• 为路径长度和树长度有界的图提供改进的近似比，超越一般图的现有 3-近似。
• 探索在最小度、直径和树分解参数等结构约束下图燃烧的算法可解性。

提出的方法

• 对于稠密图，算法采用贪心策略，每轮基于最大化覆盖范围选择激活点，利用高最小度确保快速传播。
• 针对路径长度有界的图，采用两阶段方法：首先使用改进的类似 Dijkstra 的过程识别核心结构，然后应用贪心激活序列。
• 对于树长度有界的图，算法采用树分解，并在每个子集中迭代选择中心以最小化到未燃烧顶点的最大距离。
• 算法在可能的燃烧轮数 $g^*$ 上使用二分查找，调用 `BurnGuess` 程序测试可行性并优化近似结果。
• `BurnGuess` 的每次迭代计算从选定终端出发的距离，动态缩小半径标记顶点，并使用 Dijkstra 算法确保覆盖。
• 时间复杂度上限为 $O(n^3 \log n)$，通过 $O(\log d)$ 次调用 `BurnGuess` 实现，每次调用耗时 $O(n^2 d)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 图燃烧猜想是否可被证实适用于最小度为常数的图？
• RQ2 对于路径长度或树长度有界的图，可达到的最优近似比是多少？
• RQ3 图的最小度 $\delta$ 如何影响燃烧数及高效算法的设计？
• RQ4 能否通过路径长度或树长度等结构参数，将一般图的近似因子改进至 3 以下？
• RQ5 在利用图分解时，算法效率与近似质量之间的权衡是什么？

主要发现

• 对于任意最小度为 $\delta$ 的图，所提算法在最多 $\sqrt{\frac{24n}{\delta+1}}$ 轮内完成燃烧，当 $\delta \in \Theta(n)$ 时为常数，适用于稠密图。
• 当 $\delta$ 为与 $n$ 无关的常数时，算法仍能实现最多 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 轮的燃烧时间，从而证实该类图的图燃烧猜想。
• 对于路径长度 $pl$ 和直径 $d$ 有界的图，算法在 $\lceil\sqrt{d-1}\rceil + pl$ 轮内完成燃烧，实现 $1+o(1)$ 的近似比。
• 对于树长度 $tl$ 有界的图，算法实现 $2+o(1)$ 的近似比，优于一般图的最佳已知 3-近似。
• 该算法的时间复杂度为 $O(n^3 \log n)$，源于 $O(\log d)$ 次对耗时 $O(n^2 d)$ 的 `BurnGuess` 程序的调用。
• 最优性证明依赖于基于距离的论证，表明 $g^*$ 是存在有效调度的最少轮数，其下界基于终端间的分离距离。