[论文解读] Bursting in a Subcritical Hopf Oscillator with a Nonlinear Feedback

G. Sethia, Abhijit Sen|ArXiv.org|Mar 24, 2006

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出一种具有非线性时滞反馈的亚临界Hopf振子，用于建模神经元爆发动力学。通过调节反馈强度和时滞，系统可呈现抛物线型（SNLC/SNLC）或方波型（SN/SSL）爆发，其中时滞可增强放电频率和爆发持续时间，尤其在由足够时滞诱导的双稳态区域中表现显著。

ABSTRACT

Bursting is a periodic transition between a quiescent state and a state of repetitive spiking. The phenomenon is ubiquitous in a variety of neurophysical systems. We numerically study the dynamical properties of a normal form of subcritical Hopf oscillator (at the bifurcation point) subjected to a nonlinear feedback. This dynamical system shows an infinite-period or a saddle-node on a limit cycle (SNLC) bifurcation for certain strengths of the nonlinear feedback. When the feedback is time delayed, the bifurcation scenario changes and the limit cycle terminates through a homoclinic or a saddle separatrix loop (SSL) bifurcation. This system when close to the bifurcation point exhibits various types of bursting phenomenon when subjected to a slow periodic external stimulus of an appropriate strength. The time delay in the feedback enhances the spiking rate i.e. reduces the interspike interval in a burst and also increases the width or the duration of a burst.

研究动机与目标

• 使用最小化的数学框架建模神经元爆发动力学，以捕捉关键的分岔机制。
• 研究时滞非线性反馈如何改变亚临界Hopf振子在分岔点附近的分岔情景。
• 通过调节反馈强度与时滞，探索不同爆发类型（抛物线型与方波型）的产生机制。
• 理解时滞如何增强放电速率与爆发持续时间，以支持可靠神经信号传递。
• 识别由时滞诱导的单稳态与双稳态区域之间的转变，从而实现不同的爆发模式。

提出的方法

• 采用亚临界Hopf振子的规范型，将分岔参数设为零（μ = 0），使系统处于临界点。
• 引入二次非线性反馈项，并加入时滞τ以模拟神经系统的信号传播效应。
• 控制方程以复数形式表示：ẋ(t) = (i(ω + b|z|²) + |z|² - |z|⁴)z(t) - kz²(t - τ)，其中 z = x + iy。
• 利用XPPAUT和AUTO进行τ = 0时的分岔分析，使用DDE-BIFTOOL分析时滞系统。
• 通过缓慢周期性外部刺激（ε = 0.02，Ω = 0.01）驱动系统，以模拟生理状态下的爆发活动。
• 通过分岔图与极限环频率分析，识别SNLC（极限环上的鞍结分岔）与SSL（鞍分离子线环）分岔。

实验结果

研究问题

• RQ1 时滞非线性反馈如何改变亚临界Hopf振子的分岔结构？
• RQ2 反馈强度与时滞的相互作用如何产生不同类型的爆发动力学（抛物线型与方波型）？
• RQ3 时滞如何影响所产生爆发模式中的放电速率与爆发持续时间？
• RQ4 由足够时滞诱导的双稳态区域在实现方波型爆发中起到何种作用？
• RQ5 该模型是否能仅通过调节反馈参数，实现可调放电频率与爆发宽度的可控爆发？

主要发现

• 当τ = 0时，系统在k_c ≈ 0.42506处出现极限环上的鞍结分岔（SNLC），在慢刺激驱动下产生抛物线型爆发。
• 当τ > 0时，分岔结构发生变化：稳定极限环分支延伸至k_c之外，形成双稳态区域。
• 当τ < τ_t（临界时滞）时，系统保持单稳态；随τ增大，放电速率与爆发宽度提升，但不引发双稳态。
• 当τ ≥ τ_t（例如τ = 0.5）时，系统进入双稳态区域，放电起始通过SNLC分岔、终止通过SSL分岔，产生方波型爆发。
• 随着时滞增加，放电速率提升且爆发持续时间加宽，尤其在双稳态区域中，这是由于靠近SSL分岔处动力学变慢所致。
• 当趋近SNLC分岔点时，极限环频率趋于零，证实该转变具有无限周期特性。