[论文解读] Busemann functions and barrier functions

Xiaojun Cui, Jian Cheng|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了在光滑、完备、非紧致的黎曼流形上，Busemann 函数是哈密顿-雅可比方程 |∇u|_g = 1 的粘性解，表明其具有线性模的局部拟凹性。此外，本文引入了类似 Mather 理论的障碍函数，利用它们通过偏序对测地线进行分类，并通过水平函数和 dl-函数将这些结构与理想边界联系起来。

ABSTRACT

We show that Busemann functions on a smooth, non-compact, complete, boundaryless, connected Riemannian manifold are viscosity solutions with respect to the Hamilton-Jacobi equation determined by the Riemannian metric and consequently they are locally semi-concave with linear modulus. We also analysis the structure of singularity sets of Busemann functions. Moreover we study barrier functions, which are analogues to Mather's barrier functions in Mather theory, and provide some fundamental properties. Based on barrier functions, we could define some relations on the set of lines and thus classify them. We also discuss some initial relations with the ideal boundary of the Riemannian manifold.

研究动机与目标

• 在无曲率假设的前提下，建立一般黎曼流形上 Busemann 函数的粘性解性质。
• 分析 Busemann 函数的奇点集及其几何意义。
• 引入并研究障碍函数，作为拉格朗日动力学中 Mather 障碍函数的类比。
• 利用障碍函数在测地线集合上定义偏序，并探索其几何分类意义。
• 通过水平函数和 dl-函数，将 Busemann 函数与障碍函数的结构与流形的理想边界联系起来。

提出的方法

• 利用 Busemann 函数作为距离函数极限的定义：b_γ(x) = lim_{t→∞} [d(x,γ(t)) − t]。
• 通过与距离函数比较，证明 Busemann 函数在粘性意义下满足哈密顿-雅可比方程 |∇u|_g = 1。
• 应用粘性解理论，推导出其具有线性模的局部拟凹性。
• 将障碍函数 B_γ(x) 定义为从 x 出发沿射线到 γ 的 b_γ 的下确界，并利用其定义测地线之间的关系 γ′ ≺ γ。
• 通过关系 γ′ ≺ γ 在直线集合上构造偏序，并定义伪距离 d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0))。
• 将结果推广至水平函数和 dl-函数，表明它们也满足相同的粘性方程且具有拟凹性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般完备、非紧致的黎曼流形上，Busemann 函数是否是哈密顿-雅可比方程 |∇u|_g = 1 的粘性解？
• RQ2 Busemann 函数的奇点集具有何种结构，其与流形几何有何关联？
• RQ3 能否利用障碍函数在黎曼流形上对测地线实现有意义的分类或排序？
• RQ4 Busemann 函数与障碍函数如何与流形的理想边界相关联，特别是通过水平函数和 dl-函数？
• RQ5 每一个 |∇u|_g = 1 的粘性解是否必然是一个 dl-函数？

主要发现

• 在光滑、完备、非紧致、无边、连通的黎曼流形上，每个 Busemann 函数都是哈密顿-雅可比方程 |∇u|_g = 1 的粘性解。
• 作为推论，无论曲率条件如何，每个 Busemann 函数都具有线性模的局部拟凹性。
• Busemann 函数的奇点集包含于其对应射线的切点集内，其结构与共轭点或聚焦点的存在性相关。
• 障碍函数 B_γ(x) 定义良好且有限，且满足 B_γ(x) = inf_{γ′} b_γ(γ′(0))，其中 γ′ 遍历从 x 到 γ 的所有共射线。
• 通过障碍函数定义的关系 γ′ ≺ γ 是传递的，并在直线集合上定义了偏序，从而实现了对测地线的分类。
• 伪距离 d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0)) 当且仅当 γ₁ ∼ γ₂（即在由偏序生成的等价关系下等价）时为零。