[论文解读] BWT and Combinatorics on Words

Lapointe, Mélodie, Reutenauer, Christophe|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2024

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在n个字母的字母表上对完美聚类Lyndon词进行因子分解的新方法，将其分解为n−1个回文词，中间以单个字母隔开，从而推广了经典Christoffel词的表征。关键贡献在于通过这种特殊的回文因子分解建立了结构表征，使得能够通过共轭性和回文积性质对完美聚类词进行新的组合表征，将Pirillo以及de Luca–Mignosi的结果推广至更大的字母表，并推广了Burrows-Wheeler变换在聚类行为表征中的作用。

ABSTRACT

Perfectly clustering words are one of many possible generalizations of Christoffel words. In this article, we propose a factorization of a perfectly clustering word on a $n$ letters alphabet into a product of $n-1$ palindromes with a letter between each of them. This factorization allows us to generalize two combinatorial characterization of Christoffel words due to Pirillo (1999) and de Luca and Mignosi (1994).

研究动机与目标

• 通过完美聚类词的概念，将Christoffel词的组合表征推广至更大的字母表。
• 为完美聚类Lyndon词建立一种特殊的回文因子分解，以揭示其内部结构。
• 扩展Burrows-Wheeler变换在表征具有弱非增变换的词中的作用。
• 在对称区间交换的背景下，统一并推广已知关于Christoffel词、回文积和共轭性的结果。

提出的方法

• 将完美聚类Lyndon词的特殊回文因子分解定义为n−1个回文词与单个字母交替组成的乘积。
• 利用Burrows-Wheeler变换（BWT）将完美聚类词定义为BWT弱非增的词，从而推广二元Christoffel词。
• 利用自由群上的自同构λℓ和ρℓ分析词的共轭性和反转性质。
• 应用关于BWT矩阵中共轭排序和末字母转换的引理，证明该特殊因子分解是唯一的，并能表征该词。
• 使用下一元素映射ν，证明完美聚类Lyndon词的共轭词按字典序排列，且其末字母构成弱非增序列。
• 将两字母情况（连续BWT行通过反转一个回文子串而不同）推广至k字母字母表，利用特殊因子分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Christoffel词作为两个回文词乘积的表征，推广至更大字母表上的词？
• RQ2 完美聚类Lyndon词存在何种结构因子分解，能推广二元情况？
• RQ3 完美聚类词的Burrows-Wheeler变换如何与它的共轭类和回文分解相关联？
• RQ4 在k字母字母表中，BWT矩阵中连续行之间的转换能否用回文反转来描述？
• RQ5 在特殊因子分解中，一个回文词为空的条件是什么？

主要发现

• 完美聚类Lyndon词的特殊回文因子分解（即n−1个回文词，中间以单个字母隔开）是唯一的。
• 一个词是完美聚类的，当且仅当它与自身的反转共轭，这推广了二元Christoffel词的性质。
• 完美聚类Lyndon词的共轭词按字典序排列，且其末字母构成弱非增序列，这表征了BWT为弱非增。
• 对于完美聚类词的BWT矩阵中任意两行连续行，其差异在于反转了特殊因子分解中的一个回文子串。
• 特殊因子分解中的回文πs为空，当且仅当从a₁到aₛ的字母频率之和等于从aₛ₊₁到aₖ的频率之和。
• 该结果推广了两字母情况：连续BWT行的形式为yabx和ybax，其中xy为回文，通过特殊因子分解扩展至k字母字母表。