[论文解读] $C^0$-coerciveness of Moser's problem and smoothing area preserving homeomorphisms

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Jan 9, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 19

一句话总结

该论文通过测度的弱拓扑方法，建立了Moser问题在体积形式下的$C^0$-共形性，证明了任意在二维曲面上的面积保持同胚均可被$C^0$-逼近为面积保持微分同胚。关键结果确认了在二维情形下，辛同胚群与面积保持同胚群一致，从而解决了辛几何中的一个猜想。

ABSTRACT

In this paper, we establish the $C^0$-coerciveness of Moser's problem of mapping one smooth volume form to another in terms of the weak topology of measures associated to the volume forms. The proof relies on our analysis of Dacorogna-Moser's solution to Moser's problem of mapping one volume form to the other with the same total mass. As an application, we give a proof of smoothing result of area preserving homeomorphisms and its parametric version in two dimension, (or more generally in any dimension in which the smoothing theorem of homeomorphisms is possible, e.g., in dimension 3 but not necessarily in dimension 4). This in turn results in coincidence of the area-preserving homeomorphism group and the symplectic homeomorphism group in two dimension.

研究动机与目标

• 通过与体积形式相关的测度弱拓扑，建立Moser问题的$C^0$-共形性。
• 证明任意紧致二维曲面上的面积保持同胚均可被$C^0$-逼近为面积保持微分同胚。
• 通过证明二维情形下辛同胚群与面积保持同胚群一致，解决辛几何中的一个猜想。
• 将光滑化结果推广至二维情形下面积保持同胚的参数同伦。

提出的方法

• 以Dacorogna-Moser对Moser问题的解法为基础，构建保持体积的微分同胚。
• 对Dacorogna-Moser构造进行共形重构，以控制所得微分同胚的$C^0$-范数。
• 采用三角形映射与立方体上的线性化方案，将问题约化为局部估计。
• 利用开映射定理与测度论估计，控制扰动下体积形式差异的界。
• 分析Dacorogna-Moser构造中的高阶项，以控制解的$C^0$-范数。
• 通过$\zeta$-依赖的扰动与向量场分量的$L^\infty$-范数，建立测度畸变的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moser问题能否以与测度弱拓扑相关的$C^0$-共形方式表述？
• RQ2 任意在二维曲面上的面积保持同胚是否可被$C^0$-逼近为面积保持微分同胚？
• RQ3 在二维情形下，辛同胚群是否与面积保持同胚群一致？
• RQ4 光滑化结果能否推广至二维情形下面积保持同胚的同伦？
• RQ5 在更高维度中，保持测度的性质是否能实现同胚到微分同胚的$C^0$-逼近？

主要发现

• 通过测度的弱拓扑，确立了Moser问题的$C^0$-共形性，确保体积形式的小$C^0$-扰动对应于解微分同胚的小$C^0$-扰动。
• 任意紧致二维曲面上的面积保持同胚均可被$C^0$-逼近为面积保持微分同胚，从而证明了定理I′。
• 在二维情形下，辛同胚群$\mathrm{Sympeo}(\Sigma,\omega)$与面积保持同胚群$\mathrm{Homeo}^\Omega(\Sigma)$一致。
• 光滑化结果的参数版本成立：任意面积保持同胚的同伦均可被$C^0$-逼近为面积保持微分同胚的光滑同伦。
• 该证明可推广至任意满足微分同胚逼近条件的紧致流形，如三维情形，但未必适用于四维情形。
• 导出了Dacorogna-Moser解的$C^0$-范数的统一有界性，误差项受$|\zeta \cdot u||u|$与$\varepsilon_1(\zeta)$控制，从而确认了共形性。