[论文解读] C^0-rigidity of Poisson brackets

Michael Entov, Leonid Polterovich|ArXiv.org|Dec 18, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 23

一句话总结

本文通过证明在函数的均匀（C⁰）收敛下，辛流形上泊松括号的 $L^\natural$-范数关于 $C^0$-下极限连续，建立了泊松括号的 $C^0$-刚性。证明依赖于霍弗几何和哈密顿测地线的极小性，表明泊松括号的上确界在小的 $C^0$-扰动下不会降低。相比之下，本文表明，对于三个或更多函数的多重泊松括号，此类刚性不成立。

ABSTRACT

Consider a functional associating to a pair of compactly supported smooth functions on a symplectic manifold the maximum of their Poisson bracket. We show that this functional is lower semi-continuous with respect to the product uniform (C^0) norm on the space of pairs of such functions. This extends previous results of Cardin-Viterbo and Zapolsky. The proof involves theory of geodesics of the Hofer metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms. We also discuss a failure of a similar semi-continuity phenomenon for multiple Poisson brackets of three or more functions.

研究动机与目标

• 建立辛流形上紧支集光滑函数对的泊松括号最大值的 $C^0$-下极限连续性。
• 通过证明泊松括号的 $L^\natural$-范数在 $C^0$-收敛极限下保持不变，改进卡丁-维特罗的结果。
• 研究此类刚性现象是否可推广至三个或更多函数的多重泊松括号。
• 通过构造任意小的 $C^0$-扰动使括号恒为零，证明三重泊松括号的 $C^0$-刚性不成立。
• 阐明函数的 $C^0$-收敛与它们的泊松括号收敛之间的区别，突出括号映射的非连续性。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{Ham}^c(M)$ 上霍弗度量的测地线理论，利用一维子群的小段在同伦类中最小化正霍弗长度的事实。
• 应用麦克杜夫关于哈密顿测地线极小性的结果，将交换子的霍弗范数与生成函数的泊松括号联系起来。
• 通过缩放哈密顿量的时间-1流使用扰动论证，以 $\|K_{s,t}\|$ 和 $\|\{F,G\}\|$ 估计交换子 $[\tilde{f}_s, \tilde{g}_t]$ 的霍弗范数。
• 构建辛流形的厚网格分解，定义在网格区域上为常数的 $T$-调和函数，以控制泊松括号。
• 利用局部达布图卡将二维反例嵌入高维流形，表明在 $C^0$-小扰动下三重泊松括号可被置为恒为零。
• 应用泊松括号的莱布尼茨法则对 $\chi F_i$ 的括号进行因式分解，确保当一个函数在某区域为常数时，三重括号为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数的 $C^0$-收敛下，两个函数泊松括号的最大值是否下极限连续？
• RQ2 卡丁-维特罗的 $C^0$-刚性结果能否在泊松括号的 $L^\natural$-范数极限下加强为等式？
• RQ3 $C^0$-刚性是否可推广至辛流形上三个或更多函数的多重泊松括号？
• RQ4 是否存在仅依赖于 $M$ 的维数的通用常数 $N$，使得任意 $N$-元组函数均可通过 $C^0$-扰动使其中的迭代泊松括号为零？
• RQ5 三重泊松括号 $\{F, \{G,H\}\}$ 是否可非零，但通过任意小的 $C^0$-扰动 $F,G,H$ 被置为恒为零？

主要发现

• 泊松括号的最大值在 $C^0$-收敛下是下极限连续的：对所有 $F,G \in C_c^\infty(M)$，有 $\max\{F,G\} = \liminf_{F',G' \to F,G} \max\{F',G'\}$。
• 该结果改进了卡丁-维特罗定理，表明 $\|\{F,G\}\| = \liminf_{F',G' \to F,G} \|\{F',G'\}\|$，证实了文献[5]提出的问题。
• $C^0$-刚性在三重泊松括号中不成立：对任意辛流形 $M$，存在 $F,G,H$ 使得 $\{F,\{G,H\}\} \not\equiv 0$，但对 $C^0$-接近的 $F',G',H'$，有 $\{F',\{G',H'\}\} \equiv 0$。
• 在二维情形，结果对 $N=3$ 成立，即任意三元函数均可通过 $C^0$-扰动使其中的迭代泊松括号为零。
• 刚性失效具有局部性：通过达布图卡将二维反例嵌入高维流形，保持扰动的 $C^0$-小性。
• 证明表明，泊松括号范数的 $\liminf$ 无法替换为 $\lim$，因为通过任意小的 $C^0$-扰动，最大值可被任意增大。