[论文解读] $C_0$-semigroups and resolvent operators approximated by Laguerre expansions

Luciano Abadías, Pedro J. Miana|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过向量值函数的拉盖尔展开，在巴拿赫空间中逼近 $C_0$-半群和预解算子。该方法利用拉普拉斯变换与泛函演算，建立了这些展开的收敛性，其最优 $L^p$ 和算子范数收敛速率取决于初值数据的正则性以及半群的全纯性类型。

ABSTRACT

In this paper we introduce Laguerre expansions to approximate vector-valued functions expanding on the well-known scalar theorem. We apply this result to approximate $C_0$-semi\-groups and resolvent operators in abstract Banach spaces. We study certain Laguerre functions, its Laplace transforms and the convergence of Laguerre series in Lebesgue spaces. The concluding section of this paper is devote to consider some examples of $C_0$-semigroups: shift, convolution and holomorphic semigroups where some of these results are improved.

研究动机与目标

• 将标量拉盖尔展开定理推广至抽象巴拿赫空间中的向量值函数。
• 利用拉盖尔多项式构建泛函演算框架，以逼近 $C_0$-半群和预解算子。
• 推导 $C_0$-半群拉盖尔级数逼近的收敛速率，尤其针对全纯半群与可微半群。
• 通过利用拉盖尔级数表示，改进现有的逼近方法，如 Yosida、Trotter-Kato 和 Padé 方法。

提出的方法

• 作者使用广义拉盖尔多项式 $L_n^{(\beta)}(t)$ 及其相关权函数 $e^{-t}t^{\beta}$，在 $L^p(\mathbb{R}_+)$ 中定义正交展开。
• 建立了向量值版本的乌斯彭斯基定理（定理 3.3），证明了取值于 $X$ 的函数的拉盖尔级数在点态与 $L^p$ 意义下的收敛性。
• 关键技巧在于通过泛函演算将 $C_0$-半群表示为 $T(t)x = \sum_{n=0}^\infty A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}x \, L_n^{(\alpha)}(t)$。
• 利用拉盖尔函数的拉普拉斯变换分析展开核的 $L^p$-范数，从而实现范数估计。
• 对于类型为 $HG_\beta$ 的全纯半群，作者导出衰减估计 $\|A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}\| \leq C_{\alpha,\beta}/n^{\alpha+1}$。
• 在全纯性与增长性假设下，部分和对 $T(t)x$ 的收敛速率被证明为 $O(m^{-\alpha/2})$（$t>0$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉盖尔展开能否推广至巴拿赫空间中的向量值函数？在何种条件下收敛？
• RQ2 如何利用泛函演算通过拉盖尔级数表示 $C_0$-半群与预解算子？
• RQ3 拉盖尔级数逼近 $C_0$-半群的收敛速率为何？其如何依赖于初值数据的正则性？
• RQ4 基于拉盖尔的逼近方法能否在收敛速度上优于 Yosida 或 Padé 等现有方法？

主要发现

• 向量值拉盖尔展开 $\sum_{n=0}^\infty c_n(f) L_n^{(\alpha)}(t)$ 对于 $f:(0,\infty)\to X$ 满足 $f \in L^2(\mathbb{R}_+, e^{-t}t^{\alpha}dt; X)$ 时，点态收敛于 $f(t)$，将标量结果推广至巴拿赫空间。
• 对于类型为 $HG_\beta$ 的全纯 $C_0$-半群，算子范数满足 $\|A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}\| \leq C_{\alpha,\beta}/n^{\alpha+1}$，其中 $\alpha > 0$。
• 通过拉盖尔级数前 $m$ 项逼近 $T(t)x$ 的误差被控制在 $C_{\alpha,\beta,t} \|x\| / m^{\alpha/2}$ 以内，证明了 $O(m^{-\alpha/2})$ 的收敛速率。
• 该方法通过泛函演算利用生成元的谱性质，提供了优于经典逼近方法的级数表示。
• 本文为重要半群（如平移、卷积及全纯半群，例如泊松与高斯半群）提供了显式展开式，其系数以惠塔克函数表示。
• 对于满足 $4/3 < p < 4$ 的 $L^p$-函数，部分和 $S_n(f)$ 在 $L^p$-范数下收敛于 $f$，证实了该展开在勒贝格空间中的稳定性。