[论文解读] $C^{1,\alpha}$ regularity for the normalized $p$-Poisson problem

Amal Attouchi, Mikko Parviainen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过粘性解与弱解方法，建立了在 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 中，归一化 $p$-泊松方程 $-\Delta_p^N u = f$ 的粘性解的 $C^{1,\beta}$ 正则性。当 $f \in L^\infty \cap C$ 时，解具有 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ 正则性，且 $\alpha > 0$；当 $p > 2$ 且 $f \in L^q \cap C$ 满足 $q > \max(n, p/2, 2)$ 时，可达到近乎最优的 $C^{1,\alpha_0 - \xi}$ 正则性，其中 $\alpha_0$ 为 $p$-调和函数的最优指数。

ABSTRACT

We consider the normalized $p$-Poisson problem $$-\\Delta^N_p u=f \\qquad \ ext{in}\\quad \\Omega.$$ The normalized $p$-Laplacian $\\Delta_p^{N}u:=|D u|^{2-p}\\Delta_p u$ is in non-divergence form and arises for example from stochastic games. We prove $C^{1,\\alpha}_{loc}$ regularity with nearly optimal $\\alpha$ for viscosity solutions of this problem. In the case $f\\in L^{\\infty}\\cap C$ and $p>1$ we use methods both from viscosity and weak theory, whereas in the case $f\\in L^q\\cap C$, $q>\\max(n,\\frac p2,2)$, and $p>2$ we rely on the tools of nonlinear potential theory.

研究动机与目标

• 建立归一化 $p$-泊松方程 $-\Delta_p^N u = f$ 在 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 中粘性解的局部 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 通过发展针对归一化 $p$-拉普拉斯算子的非散度型形式与梯度依赖性的新方法，将正则性结果拓展至经典理论所给出的梯度 Hölder 连续性之外。
• 在 $f$ 具有适当可积性与连续性假设的前提下，实现梯度的近乎最优 Hölder 正则性，使其趋近于 $p$-调和函数的已知最优指数 $\alpha_0$。
• 将粘性解技术与弱解理论及非线性势估计统一，特别针对 $p > 2$ 且 $f \in L^q$ 满足 $q > \max(n, p/2, 2)$ 的情形。

提出的方法

• 对归一化 $p$-泊松方程的修改形式采用平坦度改进论证，并通过迭代细化，建立 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 对于 $p > 1$ 且 $f \in L^\infty \cap C$，结合粘性理论与弱解估计，证明 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ 正则性。
• 对于 $p > 2$ 且 $f \in L^q \cap C$ 满足 $q > \max(n, p/2, 2)$，应用 Duzaar 与 Mingione [DM10] 的势估计以控制振荡并推导正则性。
• 依赖逼近技术，表明当梯度较小时，粘性解可在 $C^{1,\alpha}$ 范数下被 $p$-调和函数逼近。
• 采用缩放与迭代方法推导振荡估计，尤其在 $|Du|$ 较小的区域。
• 在证明解的唯一性与稳定性时，使用了粘性次解与超解的和定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 仅为有界且连续时，是否可建立归一化 $p$-泊松方程粘性解的 $C^{1,\alpha}$ 正则性？
• RQ2 当 $f$ 的可积性较低，即 $f \in L^q$ 且 $q > \max(n, p/2, 2)$ 时，对 $p > 2$，可实现何种正则性？
• RQ3 归一化 $p$-泊松方程解的正则性是否近乎最优，趋近于 $p$-调和函数的已知最优 $C^{1,\alpha_0}$ 指数？
• RQ4 如何将粘性解理论与弱解方法及势估计相结合，以处理归一化 $p$-拉普拉斯算子的非散度型形式与梯度依赖性？

主要发现

• 对于 $p > 1$ 且 $f \in L^\infty(\Omega) \cap C(\Omega)$，方程 $-\Delta_p^N u = f$ 的任意粘性解 $u$ 属于 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$，其中 $\alpha = \alpha(p,n) > 0$，且具有依赖于 $p$、$n$、$\|u\|_{L^\infty}$ 与 $\|f\|_{L^\infty}$ 的定量 Hölder 半范数估计。
• 对于 $p > 2$ 且 $f \in L^q(\Omega) \cap C(\Omega)$ 满足 $q > \max(n, p/2, 2)$，粘性解属于 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$，其中 $\alpha = \min(\alpha_0 - \xi, 1 - n/q)$，$\alpha_0$ 为 $p$-调和函数的最优指数。
• 该正则性结果近乎最优：对任意 $\xi \in (0, \alpha_0)$，解属于 $C^{1,\alpha_0 - \xi}_{\text{loc}}(\Omega)$，趋近于 $p$-调和函数的已知最优指数。
• 证明表明，方程 (1.1) 的粘性解是方程 $-\Delta_p u = |Du|^{p-2}f$ 的弱解，因此当 $p > 2$ 时，可继承已知拟线性 PDE 理论中的 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 提供了 $C^{1,\alpha}$ 半范数的定量估计：$[u]_{C^{1,\alpha}(\Omega'')} \leq C(p, q, n, d, d'', \|u\|_{L^\infty}, \|f\|_{L^q})$，其中 $d = \text{diam}(\Omega)$，$d'' = \text{dist}(\Omega^{\prime\prime}, \partial\Omega^\prime)$。
• 在 $\lambda > 0$ 条件下，通过上下解方法与和定理，证明了相关椭圆问题粘性解的唯一性。