[论文解读] $C^1$-generic dynamics: tame and wild behaviour

Christian Bonatti|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文研究了紧致流形上的$C^1$-泛函微分同胚，区分了‘驯服’动力系统（其全局结构类似于Axiom A系统，其中同宿类扮演基本组成部分的角色）与‘野生’动力系统（其特征为持续的非双曲行为以及不可数多个无周期轨道的饱和传递集）。关键贡献在于证明了存在$C^1$-泛函微分同胚表现出野生行为，包括通过在嵌套周期圆盘上进行重标度过程，构造出不可数多个最小、李雅普诺夫稳定且无周期轨道的传递集。

ABSTRACT

This paper gives a survey of recent results on the maximal transitive sets of $C^1$-generic diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 理解紧致流形上$C^1$-泛函微分同胚的全局结构，特别是超越Axiom A系统的情形。
• 将泛函动力系统分类为两类：‘驯服’（具有支配分裂和鲁棒传递性）与‘野生’（具有持续非双曲行为）。
• 研究泛函$C^1$-微分同胚中无周期轨道的传递集的存在性与性质。
• 建立存在不可数多个无周期点的饱和传递集的残集集合的证明。
• 探讨同宿类与中心叶状结构在鲁棒传递性与动力一致性中的作用。

提出的方法

• 通过$Diff^1(M)$中的残集集合使用$C^1$-泛函性，依赖于如普格的闭合引理和林的连接引理等扰动定理。
• 将同宿类$H(p,f)$分析为与双曲周期点$p$相关的传递集，其定义为稳定与不稳定流形的横截相交的闭包。
• 通过将$D^3$上的微分同胚嵌入周期圆盘$D_n$中，应用重标度过程，使得其动力系统共轭于$D^3$上任意$C^1$-开集的映射。
• 构建一个嵌套周期圆盘的树结构，其半径递减、周期递增，通过递减序列的交集形成不可数族的传递集。
• 采用一种扰动策略，使周期点处的导数任意接近单位矩阵，从而在圆盘上构造出普遍的动力行为。
• 依赖于中心叶状结构的结构稳定性与“板片扩张性”概念，分析鲁棒传递性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度≥3的流形上，$C^1$-泛函微分同胚是否必然具有类似于Axiom A系统的谱分解？
• RQ2 是否存在无支配分裂或非板片扩张性中心叶状结构的鲁棒传递微分同胚？
• RQ3 是否存在$Diff^1(M)$的一个残集子集，使得其动力系统表现出不可数多个无周期轨道的饱和传递集？
• RQ4 单个$C^1$-泛函微分同胚是否可包含其动力共轭于$D^3$上任意$C^1$-开集映射的周期圆盘？
• RQ5 在具有1维中心丛的传递部分双曲微分同胚下，何时会存在不变的中心叶状结构？

主要发现

• 存在一个开集$\mathcal{U} \subset Diff^1(M)$的残集子集$\mathcal{R}$，使得对任意$f \in \mathcal{R}$，均存在无限多个两两不相交的周期圆盘$D_n$，其周期满足$t_n \to \infty$。
• 对每个此类$f$，$f^{t_n}$在$D_n$上的限制平滑共轭于$D^3$上任意给定$C^1$-开集的微分同胚，展示了普遍的重标度性质。
• 此类圆盘嵌套序列的交集形成一个李雅普诺夫稳定、饱和的传递集，其共轭于加法机器，且不包含任何周期轨道。
• 在维度≥3的流形中，存在一个开集$\mathcal{V} \subset Diff^1(M)$的残集子集$\mathcal{W}$，使得不可数多个此类无周期轨道的饱和传递集存在。
• 对于具有非实特征值和非平凡雅可比行列式变化的周期点$p$，其同宿类$H(p,f)$可能不具有任何支配分裂，从而导致野生动力。
• 该构造表明，野生行为——其特征为持续的非双曲性与不可数个最小传递集——在维度≥3下是$C^1$-泛函的。